1808. 好因子的最大数目

来源第 234 场周赛 Q4难度困难分数2070

题目描述

给你一个正整数 primeFactors 。你需要构造一个正整数 n ，它满足以下条件：

n 质因数（质因数需要考虑重复的情况）的数目 不超过 primeFactors 个。
n 好因子的数目最大化。如果 n 的一个因子可以被 n 的每一个质因数整除，我们称这个因子是 好因子 。比方说，如果 n = 12 ，那么它的质因数为 [2,2,3] ，那么 6 和 12 是好因子，但 3 和 4 不是。

请你返回 n 的好因子的数目。由于答案可能会很大，请返回答案对 10⁹ + 7 取余的结果。

请注意，一个质数的定义是大于 1 ，且不能被分解为两个小于该数的自然数相乘。一个数 n 的质因子是将 n 分解为若干个质因子，且它们的乘积为 n 。

示例 1：

输入：primeFactors = 5
输出：6
解释：200 是一个可行的 n 。
它有 5 个质因子：[2,2,2,5,5] ，且有 6 个好因子：[10,20,40,50,100,200] 。
不存在别的 n 有至多 5 个质因子，且同时有更多的好因子。

示例 2：

输入：primeFactors = 8
输出：18

提示：

1 <= primeFactors <= 10⁹

解法

方法一：问题转换 + 快速幂

思考

好因子必须含全部质因子各至少一次，其个数等于各质因子指数的乘积，且指数之和不超过 \(\textit{primeFactors}\)。直接枚举分拆方案的数量随 \(n\) 增长过快。

问题化为：把整数拆成若干正整数使乘积最大。由整数拆分的经典结论，应尽量拆成 \(3\)，并避开单独的 \(1\)（余 \(1\) 时改为两个 \(2\)）。对 \(n<4\) 直接返回；否则按 \(n\bmod 3\) 分类，用快速幂计算 \(3\) 的幂并对 \(10^9+7\) 取模。

我们可以将 \(n\) 进行质因数分解，即 \(n = a_1^{k_1} \times a_2^{k_2} \times\cdots \times a_m^{k_m}\)，其中 \(a_i\) 为质因子，而 \(k_i\) 为质因子 \(a_i\) 的指数。由于 \(n\) 的质因子个数不超过 \(primeFactors\) 个，因此 \(k_1 + k_2 + \cdots + k_m \leq primeFactors\)。

而根据题意描述，我们知道 \(n\) 的好因子要满足能被所有的质因子整除，也即是说 \(n\) 的好因子需要包含 \(a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_m\) 作为因数。那么好因子的个数 \(k= k_1 \times k_2 \times \cdots \times k_m\)，即 \(k\) 为 \(k_1, k_2, \cdots, k_m\) 的乘积。要最大化好因子的个数，也即是说我们要将 primeFactors 拆分成 \(k_1, k_2, \cdots, k_m\)，使得 \(k_1 \times k_2 \times \cdots \times k_m\) 最大。因此问题转换为：将整数 primeFactors 拆分成若干个整数的乘积，使得乘积最大。

接下来，我们只需要分情况讨论。

如果 \(primeFactors \lt 4\)，那么直接返回 primeFactors 即可。
如果 \(primeFactors\) 为 \(3\) 的倍数，那么我们将 primeFactors 拆分成 \(3\) 的倍数个 \(3\)，即 \(3^{\frac{primeFactors}{3}}\)。
如果 \(primeFactors\) 除以 \(3\) 余 \(1\)，那么我们将 primeFactors 拆分成 \(\frac{primeFactors}{3} - 1\) 个 \(3\)，再乘以 \(4\)，即 \(3^{\frac{primeFactors}{3} - 1} \times 4\)。
如果 \(primeFactors\) 除以 \(3\) 余 \(2\)，那么我们将 primeFactors 拆分成 \(\frac{primeFactors}{3}\) 个 \(3\)，再乘以 \(2\)，即 \(3^{\frac{primeFactors}{3}} \times 2\)。

以上过程中，我们利用快速幂取模求解。

时间复杂度 \(O(\log n)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

Python3JavaC++GoJavaScript

class Solution:
    def maxNiceDivisors(self, primeFactors: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        if primeFactors < 4:
            return primeFactors
        if primeFactors % 3 == 0:
            return pow(3, primeFactors // 3, mod) % mod
        if primeFactors % 3 == 1:
            return 4 * pow(3, primeFactors // 3 - 1, mod) % mod
        return 2 * pow(3, primeFactors // 3, mod) % mod

class Solution {
    private final int mod = (int) 1e9 + 7;

    public int maxNiceDivisors(int primeFactors) {
        if (primeFactors < 4) {
            return primeFactors;
        }
        if (primeFactors % 3 == 0) {
            return qpow(3, primeFactors / 3);
        }
        if (primeFactors % 3 == 1) {
            return (int) (4L * qpow(3, primeFactors / 3 - 1) % mod);
        }
        return 2 * qpow(3, primeFactors / 3) % mod;
    }

    private int qpow(long a, long n) {
        long ans = 1;
        for (; n > 0; n >>= 1) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ans = ans * a % mod;
            }
            a = a * a % mod;
        }
        return (int) ans;
    }
}

class Solution {
public:
    int maxNiceDivisors(int primeFactors) {
        if (primeFactors < 4) {
            return primeFactors;
        }
        const int mod = 1e9 + 7;
        auto qpow = [&](long long a, long long n) {
            long long ans = 1;
            for (; n; n >>= 1) {
                if (n & 1) {
                    ans = ans * a % mod;
                }
                a = a * a % mod;
            }
            return (int) ans;
        };
        if (primeFactors % 3 == 0) {
            return qpow(3, primeFactors / 3);
        }
        if (primeFactors % 3 == 1) {
            return qpow(3, primeFactors / 3 - 1) * 4L % mod;
        }
        return qpow(3, primeFactors / 3) * 2 % mod;
    }
};

func maxNiceDivisors(primeFactors int) int {
    if primeFactors < 4 {
        return primeFactors
    }
    const mod = 1e9 + 7
    qpow := func(a, n int) int {
        ans := 1
        for ; n > 0; n >>= 1 {
            if n&1 == 1 {
                ans = ans * a % mod
            }
            a = a * a % mod
        }
        return ans
    }
    if primeFactors%3 == 0 {
        return qpow(3, primeFactors/3)
    }
    if primeFactors%3 == 1 {
        return qpow(3, primeFactors/3-1) * 4 % mod
    }
    return qpow(3, primeFactors/3) * 2 % mod
}

/**
 * @param {number} primeFactors
 * @return {number}
 */
var maxNiceDivisors = function (primeFactors) {
    if (primeFactors < 4) {
        return primeFactors;
    }
    const mod = 1e9 + 7;
    const qpow = (a, n) => {
        let ans = 1;
        for (; n; n >>= 1) {
            if (n & 1) {
                ans = Number((BigInt(ans) * BigInt(a)) % BigInt(mod));
            }
            a = Number((BigInt(a) * BigInt(a)) % BigInt(mod));
        }
        return ans;
    };
    const k = Math.floor(primeFactors / 3);
    if (primeFactors % 3 === 0) {
        return qpow(3, k);
    }
    if (primeFactors % 3 === 1) {
        return (4 * qpow(3, k - 1)) % mod;
    }
    return (2 * qpow(3, k)) % mod;
};

1808. 好因子的最大数目

题目描述

解法

方法一：问题转换 + 快速幂

评论