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2556. 二进制矩阵中翻转最多一次使路径不连通

来源第 97 场双周赛 Q4难度中等分数2368

题目描述

给你一个下标从 0 开始的 m x n 二进制 矩阵 grid 。你可以从一个格子 (row, col) 移动到格子 (row + 1, col) 或者 (row, col + 1) ，前提是前往的格子值为 1 。如果从 (0, 0) 到 (m - 1, n - 1) 没有任何路径，我们称该矩阵是 不连通 的。

你可以翻转 最多一个 格子的值（也可以不翻转）。你 不能翻转 格子 (0, 0) 和 (m - 1, n - 1) 。

如果可以使矩阵不连通，请你返回 true ，否则返回 false 。

注意 ，翻转一个格子的值，可以使它的值从 0 变 1 ，或从 1 变 0 。

 

示例 1：

输入：grid = [[1,1,1],[1,0,0],[1,1,1]]
输出：true
解释：按照上图所示我们翻转蓝色格子里的值，翻转后从 (0, 0) 到 (2, 2) 没有路径。

示例 2：

输入：grid = [[1,1,1],[1,0,1],[1,1,1]]
输出：false
解释：无法翻转至多一个格子，使 (0, 0) 到 (2, 2) 没有路径。

 

提示：

  • m == grid.length
  • n == grid[i].length
  • 1 <= m, n <= 1000
  • 1 <= m * n <= 105
  • grid[0][0] == grid[m - 1][n - 1] == 1

解法

方法一：两次 DFS

思考

只能向右或向下走，问能否翻转至多一个非端点格子，使左上到右下不连通。枚举翻转位置再判连通是立方级。

网格上若存在两条顶点内部不交的路径，则必须翻两格才能切断。先 DFS 找一条路径并把途经格（除恢复的两端）置 \(0\)，再 DFS 一次：若仍能到达，说明存在第二条不相交路径，无法用一次翻转断开。

我们先进行一次 DFS，判断从 \((0, 0)\) 到 \((m - 1, n - 1)\) 是否存在路径，记结果为 \(a\)。在 DFS 的过程中，我们将访问过的格子的值置为 \(0\)，以防止重复访问。

接下来，我们将 \((0, 0)\) 和 \((m - 1, n - 1)\) 的值置为 \(1\)，再进行一次 DFS，判断从 \((0, 0)\) 到 \((m - 1, n - 1)\) 是否存在路径，记结果为 \(b\)。在 DFS 的过程中，我们将访问过的格子的值置为 \(0\)，避免重复访问。

最后，如果 \(a\) 和 \(b\) 都为 true，则返回 false，否则返回 true。

时间复杂度 \(O(mn)\)，空间复杂度 \(O(mn)\)。其中 \(m\) 和 \(n\) 分别是矩阵的行数和列数。

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class Solution:
    def isPossibleToCutPath(self, grid: List[List[int]]) -> bool:
        def dfs(i, j):
            if i >= m or j >= n or grid[i][j] == 0:
                return False
            grid[i][j] = 0
            if i == m - 1 and j == n - 1:
                return True
            return dfs(i + 1, j) or dfs(i, j + 1)

        m, n = len(grid), len(grid[0])
        a = dfs(0, 0)
        grid[0][0] = grid[-1][-1] = 1
        b = dfs(0, 0)
        return not (a and b)

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class Solution {
    private int[][] grid;
    private int m;
    private int n;

    public boolean isPossibleToCutPath(int[][] grid) {
        this.grid = grid;
        m = grid.length;
        n = grid[0].length;
        boolean a = dfs(0, 0);
        grid[0][0] = 1;
        grid[m - 1][n - 1] = 1;
        boolean b = dfs(0, 0);
        return !(a && b);
    }

    private boolean dfs(int i, int j) {
        if (i >= m || j >= n || grid[i][j] == 0) {
            return false;
        }
        if (i == m - 1 && j == n - 1) {
            return true;
        }
        grid[i][j] = 0;
        return dfs(i + 1, j) || dfs(i, j + 1);
    }
}

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class Solution {
public:
    bool isPossibleToCutPath(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        function<bool(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> bool {
            if (i >= m || j >= n || grid[i][j] == 0) {
                return false;
            }
            if (i == m - 1 && j == n - 1) {
                return true;
            }
            grid[i][j] = 0;
            return dfs(i + 1, j) || dfs(i, j + 1);
        };
        bool a = dfs(0, 0);
        grid[0][0] = grid[m - 1][n - 1] = 1;
        bool b = dfs(0, 0);
        return !(a && b);
    }
};

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func isPossibleToCutPath(grid [][]int) bool {
    m, n := len(grid), len(grid[0])
    var dfs func(i, j int) bool
    dfs = func(i, j int) bool {
        if i >= m || j >= n || grid[i][j] == 0 {
            return false
        }
        if i == m-1 && j == n-1 {
            return true
        }
        grid[i][j] = 0
        return dfs(i+1, j) || dfs(i, j+1)
    }
    a := dfs(0, 0)
    grid[0][0], grid[m-1][n-1] = 1, 1
    b := dfs(0, 0)
    return !(a && b)
}

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function isPossibleToCutPath(grid: number[][]): boolean {
    const m = grid.length;
    const n = grid[0].length;

    const dfs = (i: number, j: number): boolean => {
        if (i >= m || j >= n || grid[i][j] !== 1) {
            return false;
        }
        grid[i][j] = 0;
        if (i === m - 1 && j === n - 1) {
            return true;
        }
        return dfs(i + 1, j) || dfs(i, j + 1);
    };
    const a = dfs(0, 0);
    grid[0][0] = 1;
    grid[m - 1][n - 1] = 1;
    const b = dfs(0, 0);
    return !(a && b);
}

方法二：两次显式栈

思考

只能向右或向下走，问能否翻转至多一个非端点格子，使左上到右下不连通。枚举翻转位置再判连通是立方级。网格上若存在两条内部不相交的路径，一次翻转就不够。先向下优先找出一条路径，把经过的格子清零，两端再恢复，然后同样再搜一次。行数可以到 \(1000\)，而第一步总是向下，调用深度就是 \(m\)。因此用显式栈保持同一顺序：先压入右方，再压入下方。

搜索使用显式栈，进入格子时把它置为 \(0\)，先处理下方再处理右方。

我们先用显式栈搜索一次，判断从 \((0, 0)\) 到 \((m - 1, n - 1)\) 是否存在路径，记结果为 \(a\)。搜索过程中，我们将访问过的格子的值置为 \(0\)，以防止重复访问。

接下来，我们将 \((0, 0)\) 和 \((m - 1, n - 1)\) 的值置为 \(1\)，再用显式栈搜索一次，判断从 \((0, 0)\) 到 \((m - 1, n - 1)\) 是否存在路径，记结果为 \(b\)。搜索过程中，我们将访问过的格子的值置为 \(0\)，避免重复访问。

最后，如果 \(a\) 和 \(b\) 都为 true，则返回 false，否则返回 true。

时间复杂度 \(O(mn)\)，空间复杂度 \(O(mn)\)。其中 \(m\) 和 \(n\) 分别是矩阵的行数和列数。

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class Solution:
    def isPossibleToCutPath(self, grid: List[List[int]]) -> bool:
        def dfs() -> bool:
            stk = [(0, 0)]
            while stk:
                i, j = stk.pop()
                if i >= m or j >= n or grid[i][j] == 0:
                    continue
                grid[i][j] = 0
                if i == m - 1 and j == n - 1:
                    return True
                stk.append((i, j + 1))
                stk.append((i + 1, j))
            return False

        m, n = len(grid), len(grid[0])
        a = dfs()
        grid[0][0] = grid[-1][-1] = 1
        b = dfs()
        return not (a and b)

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class Solution {
    public boolean isPossibleToCutPath(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        boolean a = dfs(grid, m, n);
        grid[0][0] = 1;
        grid[m - 1][n - 1] = 1;
        boolean b = dfs(grid, m, n);
        return !(a && b);
    }

    private boolean dfs(int[][] grid, int m, int n) {
        int[] stk = new int[m * n * 2];
        int top = 0;
        stk[top++] = 0;
        while (top > 0) {
            int cur = stk[--top];
            int i = cur / n;
            int j = cur % n;
            if (i >= m || j >= n || grid[i][j] == 0) {
                continue;
            }
            grid[i][j] = 0;
            if (i == m - 1 && j == n - 1) {
                return true;
            }
            if (j + 1 < n) {
                stk[top++] = i * n + j + 1;
            }
            if (i + 1 < m) {
                stk[top++] = (i + 1) * n + j;
            }
        }
        return false;
    }
}

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class Solution {
public:
    bool isPossibleToCutPath(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        auto dfs = [&]() {
            vector<pair<int, int>> stk{{0, 0}};
            while (!stk.empty()) {
                auto [i, j] = stk.back();
                stk.pop_back();
                if (i >= m || j >= n || grid[i][j] == 0) {
                    continue;
                }
                grid[i][j] = 0;
                if (i == m - 1 && j == n - 1) {
                    return true;
                }
                stk.emplace_back(i, j + 1);
                stk.emplace_back(i + 1, j);
            }
            return false;
        };
        bool a = dfs();
        grid[0][0] = grid[m - 1][n - 1] = 1;
        bool b = dfs();
        return !(a && b);
    }
};

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func isPossibleToCutPath(grid [][]int) bool {
    m, n := len(grid), len(grid[0])
    dfs := func() bool {
        stk := [][2]int{{0, 0}}
        for len(stk) > 0 {
            i, j := stk[len(stk)-1][0], stk[len(stk)-1][1]
            stk = stk[:len(stk)-1]
            if i >= m || j >= n || grid[i][j] == 0 {
                continue
            }
            grid[i][j] = 0
            if i == m-1 && j == n-1 {
                return true
            }
            stk = append(stk, [2]int{i, j + 1}, [2]int{i + 1, j})
        }
        return false
    }
    a := dfs()
    grid[0][0], grid[m-1][n-1] = 1, 1
    b := dfs()
    return !(a && b)
}

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function isPossibleToCutPath(grid: number[][]): boolean {
    const m = grid.length;
    const n = grid[0].length;
    const dfs = (): boolean => {
        const stk: number[][] = [[0, 0]];
        while (stk.length) {
            const [i, j] = stk.pop()!;
            if (i >= m || j >= n || grid[i][j] !== 1) {
                continue;
            }
            grid[i][j] = 0;
            if (i === m - 1 && j === n - 1) {
                return true;
            }
            stk.push([i, j + 1], [i + 1, j]);
        }
        return false;
    };
    const a = dfs();
    grid[0][0] = 1;
    grid[m - 1][n - 1] = 1;
    const b = dfs();
    return !(a && b);
}

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