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2369. 检查数组是否存在有效划分

来源第 305 场周赛 Q3难度中等分数1779

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，你必须将数组划分为一个或多个 连续 子数组。

如果获得的这些子数组中每个都能满足下述条件 之一 ，则可以称其为数组的一种 有效 划分：

  1. 子数组 恰 由 2 个相等元素组成，例如，子数组 [2,2] 。
  2. 子数组 恰 由 3 个相等元素组成，例如，子数组 [4,4,4] 。
  3. 子数组 恰 由 3 个连续递增元素组成，并且相邻元素之间的差值为 1 。例如，子数组 [3,4,5] ，但是子数组 [1,3,5] 不符合要求。

如果数组 至少 存在一种有效划分，返回 true ，否则，返回 false 。

 

示例 1：

输入：nums = [4,4,4,5,6]
输出：true
解释：数组可以划分成子数组 [4,4] 和 [4,5,6] 。
这是一种有效划分，所以返回 true 。

示例 2：

输入：nums = [1,1,1,2]
输出：false
解释：该数组不存在有效划分。

 

提示：

  • 2 <= nums.length <= 105
  • 1 <= nums[i] <= 106

解法

方法一：记忆化搜索

思考

划分由「两相等」「三相等」或「三连续递增」组成。 \(n \le 10^5\)，递归划分会重叠。从下标 \(i\) 出发是否合法只取决于 \(i\) 之后的后缀。

记忆化 \(dfs(i)\)：尝试长度 \(2\) 或 \(3\) 的合法块并跳到块末。越界视为成功。

我们设计一个函数 \(dfs(i)\)，表示从下标 \(i\) 开始是否存在一种有效划分。那么答案就是 \(dfs(0)\)。

函数 \(dfs(i)\) 的执行过程如下：

  • 如果 \(i \ge n\)，返回 \(true\)。
  • 如果 \(i\) 和 \(i+1\) 下标的元素相等，那么可以选择将 \(i\) 和 \(i+1\) 作为一个子数组，递归调用 \(dfs(i+2)\)。
  • 如果 \(i\), \(i+1\) 和 \(i+2\) 下标的元素相等，那么可以选择将 \(i\), \(i+1\) 和 \(i+2\) 作为一个子数组，递归调用 \(dfs(i+3)\)。
  • 如果 \(i\), \(i+1\) 和 \(i+2\) 下标的元素依次递增 \(1\)，那么可以选择将 \(i\), \(i+1\) 和 \(i+2\) 作为一个子数组，递归调用 \(dfs(i+3)\)。
  • 如果上述情况都不满足，返回 \(false\)，否则返回 \(true\)。

即：

\[ dfs(i) = \textit{OR} \begin{cases} true,&i \ge n\\ dfs(i+2),&i+1 < n\ \textit{and}\ \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i+1]\\ dfs(i+3),&i+2 < n\ \textit{and}\ \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i+1] = \textit{nums}[i+2]\\ dfs(i+3),&i+2 < n\ \textit{and}\ \textit{nums}[i+1] - \textit{nums}[i] = 1\ \textit{and}\ \textit{nums}[i+2] - \textit{nums}[i+1] = 1 \end{cases} \]

为了避免重复计算，我们使用记忆化搜索的方法。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 为数组的长度。

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class Solution:
    def validPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        @cache
        def dfs(i: int) -> bool:
            if i >= n:
                return True
            a = i + 1 < n and nums[i] == nums[i + 1]
            b = i + 2 < n and nums[i] == nums[i + 1] == nums[i + 2]
            c = (
                i + 2 < n
                and nums[i + 1] - nums[i] == 1
                and nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1
            )
            return (a and dfs(i + 2)) or ((b or c) and dfs(i + 3))

        n = len(nums)
        return dfs(0)

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class Solution {
    private int n;
    private int[] nums;
    private Boolean[] f;

    public boolean validPartition(int[] nums) {
        n = nums.length;
        this.nums = nums;
        f = new Boolean[n];
        return dfs(0);
    }

    private boolean dfs(int i) {
        if (i >= n) {
            return true;
        }
        if (f[i] != null) {
            return f[i];
        }
        boolean a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
        boolean b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
        boolean c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
        return f[i] = ((a && dfs(i + 2)) || ((b || c) && dfs(i + 3)));
    }
}

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class Solution {
public:
    bool validPartition(vector<int>& nums) {
        n = nums.size();
        this->nums = nums;
        f.assign(n, -1);
        return dfs(0);
    }

private:
    int n;
    vector<int> f;
    vector<int> nums;

    bool dfs(int i) {
        if (i >= n) {
            return true;
        }
        if (f[i] != -1) {
            return f[i] == 1;
        }
        bool a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
        bool b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
        bool c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
        f[i] = ((a && dfs(i + 2)) || ((b || c) && dfs(i + 3))) ? 1 : 0;
        return f[i] == 1;
    }
};

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func validPartition(nums []int) bool {
    n := len(nums)
    f := make([]int, n)
    for i := range f {
        f[i] = -1
    }
    var dfs func(int) bool
    dfs = func(i int) bool {
        if i == n {
            return true
        }
        if f[i] != -1 {
            return f[i] == 1
        }
        a := i+1 < n && nums[i] == nums[i+1]
        b := i+2 < n && nums[i] == nums[i+1] && nums[i+1] == nums[i+2]
        c := i+2 < n && nums[i+1]-nums[i] == 1 && nums[i+2]-nums[i+1] == 1
        f[i] = 0
        if a && dfs(i+2) || b && dfs(i+3) || c && dfs(i+3) {
            f[i] = 1
        }
        return f[i] == 1
    }
    return dfs(0)
}

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function validPartition(nums: number[]): boolean {
    const n = nums.length;
    const f: number[] = Array(n).fill(-1);
    const dfs = (i: number): boolean => {
        if (i >= n) {
            return true;
        }
        if (f[i] !== -1) {
            return f[i] === 1;
        }
        const a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
        const b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
        const c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
        f[i] = (a && dfs(i + 2)) || ((b || c) && dfs(i + 3)) ? 1 : 0;
        return f[i] == 1;
    };
    return dfs(0);
}

方法二：动态规划

思考

方法一从末尾填后缀， \(f[i]\) 表示从下标 \(i\) 起能否划分。同样三种块也可以按前缀来写： \(f[i]\) 表示前 \(i\) 个元素能否划分，由 \(f[i-2]\) 与 \(f[i-3]\) 转入。

自左向右填表，答案为 \(f[n]\)。时间仍为 \(O(n)\)。

方法一从末尾判断后缀能否划分。下面改为判断前缀，转移仍是同样的三种块。

设 \(f[i]\) 表示数组的前 \(i\) 个元素是否存在一种有效划分，初始时 \(f[0] = true\)，答案就是 \(f[n]\)。

状态转移方程如下：

\[ f[i] = \textit{OR} \begin{cases} true,&i = 0\\ f[i-2],&i-2 \ge 0\ \textit{and}\ \textit{nums}[i-1] = \textit{nums}[i-2]\\ f[i-3],&i-3 \ge 0\ \textit{and}\ \textit{nums}[i-1] = \textit{nums}[i-2] = \textit{nums}[i-3]\\ f[i-3],&i-3 \ge 0\ \textit{and}\ \textit{nums}[i-1] - \textit{nums}[i-2] = 1\ \textit{and}\ \textit{nums}[i-2] - \textit{nums}[i-3] = 1 \end{cases} \]

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 为数组的长度。

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class Solution:
    def validPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        n = len(nums)
        f = [True] + [False] * n
        for i, x in enumerate(nums, 1):
            a = i - 2 >= 0 and nums[i - 2] == x
            b = i - 3 >= 0 and nums[i - 3] == nums[i - 2] == x
            c = i - 3 >= 0 and x - nums[i - 2] == 1 and nums[i - 2] - nums[i - 3] == 1
            f[i] = (a and f[i - 2]) or ((b or c) and f[i - 3])
        return f[n]

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class Solution {
    public boolean validPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        boolean[] f = new boolean[n + 1];
        f[0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            boolean a = i - 2 >= 0 && nums[i - 1] == nums[i - 2];
            boolean b = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] == nums[i - 2] && nums[i - 2] == nums[i - 3];
            boolean c
                = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] - nums[i - 2] == 1 && nums[i - 2] - nums[i - 3] == 1;
            f[i] = (a && f[i - 2]) || ((b || c) && f[i - 3]);
        }
        return f[n];
    }
}

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class Solution {
public:
    bool validPartition(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<bool> f(n + 1);
        f[0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            bool a = i - 2 >= 0 && nums[i - 1] == nums[i - 2];
            bool b = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] == nums[i - 2] && nums[i - 2] == nums[i - 3];
            bool c = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] - nums[i - 2] == 1 && nums[i - 2] - nums[i - 3] == 1;
            f[i] = (a && f[i - 2]) || ((b || c) && f[i - 3]);
        }
        return f[n];
    }
};

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func validPartition(nums []int) bool {
    n := len(nums)
    f := make([]bool, n+1)
    f[0] = true
    for i := 1; i <= n; i++ {
        x := nums[i-1]
        a := i-2 >= 0 && nums[i-2] == x
        b := i-3 >= 0 && nums[i-3] == nums[i-2] && nums[i-2] == x
        c := i-3 >= 0 && x-nums[i-2] == 1 && nums[i-2]-nums[i-3] == 1
        f[i] = (a && f[i-2]) || ((b || c) && f[i-3])
    }
    return f[n]
}

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function validPartition(nums: number[]): boolean {
    const n = nums.length;
    const f: boolean[] = Array(n + 1).fill(false);
    f[0] = true;
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        const a = i - 2 >= 0 && nums[i - 1] === nums[i - 2];
        const b = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] === nums[i - 2] && nums[i - 2] === nums[i - 3];
        const c = i - 3 >= 0 && nums[i - 1] - nums[i - 2] === 1 && nums[i - 2] - nums[i - 3] === 1;
        f[i] = (a && f[i - 2]) || ((b || c) && f[i - 3]);
    }
    return f[n];
}

方法三：动态规划

思考

划分只能是两相等、三相等或三连续递增。 \(n \le 10^5\)，按块枚举会重叠，而且两相等的块总会先尝试。

全相等时这次尝试连成一条长度为 \(n/2\) 的调用链，栈会溢出。

更靠后的下标在从末尾往前走时已经就绪。令 \(f[i]\) 表示从下标 \(i\) 起能否划分， \(f[n]\) 为真，从 \(i=n-1\) 填到 \(0\)。合法块仍是跳到 \(i+2\) 或 \(i+3\)。

令 \(f[i]\) 表示从下标 \(i\) 开始是否存在一种有效划分。答案为 \(f[0]\)， \(f[n] = true\)。

从 \(i = n - 1\) 填到 \(0\)。两相邻元素相等时，可以接上 \(f[i + 2]\)；三个元素相等，或依次递增 \(1\) 时，可以接上 \(f[i + 3]\)。三种情况取或，都不成立则为 \(false\)：

\[ f[i] = \textit{OR} \begin{cases} f[i+2],&i+1 < n\ \textit{and}\ \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i+1]\\ f[i+3],&i+2 < n\ \textit{and}\ \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i+1] = \textit{nums}[i+2]\\ f[i+3],&i+2 < n\ \textit{and}\ \textit{nums}[i+1] - \textit{nums}[i] = 1\ \textit{and}\ \textit{nums}[i+2] - \textit{nums}[i+1] = 1 \end{cases} \]

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 为数组的长度。

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class Solution:
    def validPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        n = len(nums)
        f = [False] * n + [True]
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            a = i + 1 < n and nums[i] == nums[i + 1]
            b = i + 2 < n and nums[i] == nums[i + 1] == nums[i + 2]
            c = (
                i + 2 < n
                and nums[i + 1] - nums[i] == 1
                and nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1
            )
            f[i] = (a and f[i + 2]) or ((b or c) and f[i + 3])
        return f[0]

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class Solution {
    public boolean validPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        boolean[] f = new boolean[n + 1];
        f[n] = true;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            boolean a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
            boolean b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
            boolean c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
            f[i] = (a && f[i + 2]) || ((b || c) && f[i + 3]);
        }
        return f[0];
    }
}

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class Solution {
public:
    bool validPartition(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n + 1);
        f[n] = 1;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            bool a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
            bool b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
            bool c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
            f[i] = (a && f[i + 2]) || ((b || c) && f[i + 3]);
        }
        return f[0];
    }
};

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func validPartition(nums []int) bool {
    n := len(nums)
    f := make([]bool, n+1)
    f[n] = true
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        a := i+1 < n && nums[i] == nums[i+1]
        b := i+2 < n && nums[i] == nums[i+1] && nums[i+1] == nums[i+2]
        c := i+2 < n && nums[i+1]-nums[i] == 1 && nums[i+2]-nums[i+1] == 1
        f[i] = (a && f[i+2]) || ((b || c) && f[i+3])
    }
    return f[0]
}

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function validPartition(nums: number[]): boolean {
    const n = nums.length;
    const f: boolean[] = Array(n + 1).fill(false);
    f[n] = true;
    for (let i = n - 1; i >= 0; --i) {
        const a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
        const b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
        const c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
        f[i] = (a && f[i + 2]) || ((b || c) && f[i + 3]);
    }
    return f[0];
}

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