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1111. 有效括号的嵌套深度

来源第 144 场周赛 Q4难度中等分数1749

题目描述

如果一个字符串仅由字符 "(" 和 ")" 组成，并且满足以下条件，则称为有效括号字符串（VPS）：

  • 它是空字符串，或
  • 它可以表示为 AB（A 连接 B），其中 A 和 B 都是VPS，或者
  • 它可以表示为 (A)，其中 A 是一个 VPS。

我们可以类似地定义任何 VPS S 的嵌套深度 depth(S) 如下：

  • depth("") = 0
  • depth(A + B) = max(depth(A), depth(B))，其中 A 和 B 都是 VPS
  • depth("(" + A + ")") = 1 + depth(A)，其中 A 是一个 VPS。

例如，""，"()()" 和 "()(()())" 都是 VPS（嵌套深度 0，1 和 2），并且 ")(" 和 "(()" 不是 VPS。

给定一个 VPS 序列，将其拆分成两个不相交的子序列 A 和 B，使得 A 和 B 都是 VPS（且 A.length + B.length = seq.length）。这些子序列不一定是连续的。

例如，对于序列 123456789，一种可能的拆分是：

  • A = {1, 3, 5, 7, 9}，

  • B = {2, 4, 6, 8}。

  • 这对应于输出 [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]，其中 0 表示属于 A，1 表示属于 B。

现在选择 任意 这样的 A 和 B，使得 max(depth(A), depth(B)) 的值是最小的。

返回一个 answer 数组（长度为 seq.length），该数组编码了 A 和 B 的选择：如果 seq[i] 是 A 的一部分则 answer[i] = 0，否则 answer[i] = 1。请注意，尽管可能存在多种答案，但你可以返回其中任意一种。

 

示例 1：

输入：seq = "(()())"
输出：[0,1,1,1,1,0]

示例 2：

输入：seq = "()(())()"
输出：[0,0,0,1,1,0,1,1]
解释：本示例答案不唯一。
按此输出 A = "()()", B = "()()", max(depth(A), depth(B)) = 1，它们的深度最小。
像 [1,1,1,0,0,1,1,1]，也是正确结果，其中 A = "()()()", B = "()", max(depth(A), depth(B)) = 1 。

 

提示：

  • 1 < seq.size <= 10000

 

有效括号字符串：

仅由 "(" 和 ")" 构成的字符串，对于每个左括号，都能找到与之对应的右括号，反之亦然。
下述几种情况同样属于有效括号字符串：

  1. 空字符串
  2. 连接，可以记作 AB（A 与 B 连接），其中 A 和 B 都是有效括号字符串
  3. 嵌套，可以记作 (A)，其中 A 是有效括号字符串

嵌套深度：

类似地，我们可以定义任意有效括号字符串 s 的 嵌套深度 depth(S)：

  1. s 为空时，depth("") = 0
  2. s 为 A 与 B 连接时，depth(A + B) = max(depth(A), depth(B))，其中 A 和 B 都是有效括号字符串
  3. s 为嵌套情况，depth("(" + A + ")") = 1 + depth(A)，其中 A 是有效括号字符串

例如：""，"()()"，和 "()(()())" 都是有效括号字符串，嵌套深度分别为 0，1，2，而 ")(" 和 "(()" 都不是有效括号字符串。

解法

方法一：贪心

思考

每个括号都要指定组别，再检查两组是否都合法。 \(n \le 10^4\)，把每个位置的组别枚举一遍并不现实。改成贪心也可以：左括号分给当前较浅的一组，右括号跟回同一组。这样做是对的，但扫描时要同时记下两组的深度。

深度是沿嵌套一层层加上去的。一条深度为 \(d\) 的链有 \(d\) 层，分给两组之后，其中一组至少分到 \(\lceil d/2 \rceil\) 层。把相邻层交错开，两组的深度就分别是 \(\lceil d/2 \rceil\) 和 \(\lfloor d/2 \rfloor\)。

组号取层号的奇偶就够了，只留一个平衡度 \(x\)。左括号落在即将进入的那一层，要看加深之前的 \(x\)；右括号得跟着配对的左括号走，要看回退之后的 \(x\)。同一对括号读到的奇偶相同，拆出来的两个子序列仍然合法。

我们用变量 \(x\) 记录当前的平衡度，也就是尚未匹配的左括号个数，它同时也是当前位置的嵌套深度。

从左到右扫描 \(seq\)。遇到左括号，先把 \(x\) 的奇偶写入答案，偶数为 \(0\)、奇数为 \(1\)，然后 \(x\) 加一。遇到右括号，先将 \(x\) 减一，再按新的奇偶写入答案。匹配的一对括号读到同一个奇偶，进入同一组，因此两组都仍然是合法括号串。设原串嵌套深度为 \(d\)，两组深度的最大值等于 \(\lceil d/2 \rceil\)。

时间复杂度 \(O(n)\)，其中 \(n\) 是字符串 \(seq\) 的长度。忽略答案数组的空间消耗，空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def maxDepthAfterSplit(self, seq: str) -> List[int]:
        ans = [0] * len(seq)
        x = 0
        for i, c in enumerate(seq):
            if c == "(":
                ans[i] = x & 1
                x += 1
            else:
                x -= 1
                ans[i] = x & 1
        return ans

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class Solution {
    public int[] maxDepthAfterSplit(String seq) {
        int n = seq.length();
        int[] ans = new int[n];
        for (int i = 0, x = 0; i < n; ++i) {
            if (seq.charAt(i) == '(') {
                ans[i] = x++ & 1;
            } else {
                ans[i] = --x & 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<int> maxDepthAfterSplit(string seq) {
        int n = seq.size();
        vector<int> ans(n);
        for (int i = 0, x = 0; i < n; ++i) {
            if (seq[i] == '(') {
                ans[i] = x++ & 1;
            } else {
                ans[i] = --x & 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

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func maxDepthAfterSplit(seq string) []int {
    n := len(seq)
    ans := make([]int, n)
    for i, x := 0, 0; i < n; i++ {
        if seq[i] == '(' {
            ans[i] = x & 1
            x++
        } else {
            x--
            ans[i] = x & 1
        }
    }
    return ans
}

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function maxDepthAfterSplit(seq: string): number[] {
    const n = seq.length;
    const ans: number[] = new Array(n);
    for (let i = 0, x = 0; i < n; ++i) {
        if (seq[i] === '(') {
            ans[i] = x++ & 1;
        } else {
            ans[i] = --x & 1;
        }
    }
    return ans;
}

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impl Solution {
    pub fn max_depth_after_split(seq: String) -> Vec<i32> {
        let n = seq.len();
        let mut ans = vec![0; n];
        let mut x = 0;
        for (i, c) in seq.bytes().enumerate() {
            if c == b'(' {
                ans[i] = x & 1;
                x += 1;
            } else {
                x -= 1;
                ans[i] = x & 1;
            }
        }
        ans
    }
}

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