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4010. 数对的最大强度

题目描述

给你一个整数数组 nums。

选择 恰好一对 不同下标 i 和 j。该数对的 强度 定义为：

(nums[i] * nums[j]) / gcd(nums[i], nums[j])2

返回所有可能数对中的 最大 强度。

gcd(a, b) 表示 a 和 b 的 最大公约数 。

 

示例 1：

输入： nums = [2,3,5]

输出： 15

解释：

选择 i = 1 和 j = 2，得到强度：

(3 * 5) / gcd(3, 5)2 = 15 / 1 = 15，这是所有数对中的最大值。

示例 2：

输入： nums = [4,6,8]

输出： 12

解释：

选择 i = 1 和 j = 2，得到强度：

(6 * 8) / gcd(6, 8)2 = 48 / 4 = 12，这是所有数对中的最大值。

示例 3：

输入： nums = [3,3]

输出： 1

解释：

选择 i = 0 和 j = 1，得到强度：

(3 * 3) / gcd(3, 3)2 = 9 / 9 = 1，这是唯一数对的强度。

 

提示：

  • 2 <= nums.length <= 2000
  • 1 <= nums[i] <= 105

解法

方法一：枚举

我们直接枚举所有的数对 \((i, j)\)，其中 \(i < j\)，计算每个数对的强度 \(\frac{\textit{nums}[i] \times \textit{nums}[j]}{\gcd(\textit{nums}[i], \textit{nums}[j])^2}\)，取最大值即可。

其中，最大公约数 \(\gcd\) 可以使用辗转相除法求得。

时间复杂度 \(O(n^2 \times \log M)\)，其中 \(n\) 是数组 \(\textit{nums}\) 的长度，而 \(M\) 是数组元素的最大值。空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def maxPairStrength(self, nums: list[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans = 0
        for i in range(n):
            for j in range(i + 1, n):
                x = nums[i] * nums[j] // gcd(nums[i], nums[j]) ** 2
                ans = max(ans, x)
        return ans

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class Solution {
    public long maxPairStrength(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        long ans = 0;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                long g = gcd(nums[i], nums[j]);
                long x = (long) nums[i] * nums[j] / (g * g);
                ans = Math.max(ans, x);
            }
        }

        return ans;
    }

    private long gcd(long a, long b) {
        while (b != 0) {
            long t = a % b;
            a = b;
            b = t;
        }
        return a;
    }
}

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class Solution {
public:
    long long maxPairStrength(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        long long ans = 0;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                long long g = gcd(nums[i], nums[j]);
                long long x = 1LL * nums[i] * nums[j] / (g * g);
                ans = max(ans, x);
            }
        }

        return ans;
    }
};

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func maxPairStrength(nums []int) int64 {
    n := len(nums)
    var ans int64 = 0

    for i := 0; i < n; i++ {
        for j := i + 1; j < n; j++ {
            g := gcd(int64(nums[i]), int64(nums[j]))
            x := int64(nums[i]) * int64(nums[j]) / (g * g)
            ans = max(ans, x)
        }
    }

    return ans
}

func gcd(a, b int64) int64 {
    for b != 0 {
        a, b = b, a%b
    }
    return a
}

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function maxPairStrength(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;
    let ans = 0;

    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = i + 1; j < n; j++) {
            const g = gcd(nums[i], nums[j]);
            const x = Math.floor((nums[i] * nums[j]) / (g * g));
            ans = Math.max(ans, x);
        }
    }

    return ans;
}

function gcd(a: number, b: number): number {
    while (b !== 0) {
        const t = a % b;
        a = b;
        b = t;
    }
    return a;
}

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