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552. 学生出勤记录 II

难度困难

题目描述

可以用字符串表示一个学生的出勤记录，其中的每个字符用来标记当天的出勤情况（缺勤、迟到、到场）。记录中只含下面三种字符：

  • 'A'：Absent，缺勤
  • 'L'：Late，迟到
  • 'P'：Present，到场

如果学生能够 同时 满足下面两个条件，则可以获得出勤奖励：

  • 按 总出勤 计，学生缺勤（'A'）严格 少于两天。
  • 学生 不会 存在 连续 3 天或 连续 3 天以上的迟到（'L'）记录。

给你一个整数 n ，表示出勤记录的长度（次数）。请你返回记录长度为 n 时，可能获得出勤奖励的记录情况 数量 。答案可能很大，所以返回对 109 + 7 取余 的结果。

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：8
解释：
有 8 种长度为 2 的记录将被视为可奖励：
"PP" , "AP", "PA", "LP", "PL", "AL", "LA", "LL" 
只有"AA"不会被视为可奖励，因为缺勤次数为 2 次（需要少于 2 次）。

示例 2：

输入：n = 1
输出：3

示例 3：

输入：n = 10101
输出：183236316

 

提示：

  • 1 <= n <= 105

解法

方法一：动态规划

思考

长度为 \(n\) 的合法串要限制缺勤次数与连续迟到。直接枚举 \(3^n\) 种串不可行， \(n\) 可达 \(10^5\)。

缺勤只用过 \(0\) 次或 \(1\) 次，连续迟到只有 \(0,1,2\) 三档，六个状态就够了。若从第 \(0\) 天递归到第 \(n\) 天，调用栈深度为 \(n\)，在上限处会溢出。

因此从最后一天倒着填。 \(f(j,k)\) 表示已缺勤 \(j\) 次、当前连续迟到 \(k\) 次时，把剩余记录填完的方案数。没有剩余天数时方案数为 \(1\)。往前一天可以放 P（连续迟到清零）、在 \(j=0\) 时放一次 A，或在 \(k<2\) 时放 L。答案是 \(f(0,0)\)，对 \(10^9+7\) 取模。

设 \(f(j, k)\) 表示已经缺勤 \(j\) 次、当前连续迟到 \(k\) 次时，把尚未填写的出勤记录全部填完的方案数。没有剩余天数时， \(f(j, k) = 1\)。答案是倒推 \(n\) 天之后的 \(f(0, 0)\)。

从最后一天往前推。对于每一个状态 \((j, k)\)，新的方案数是三种选择之和：

  • 到场：连续迟到清零，对应 \(f(j, 0)\)；
  • 若 \(j = 0\)，可以缺勤一次，对应 \(f(1, 0)\)；
  • 若 \(k \lt 2\)，可以迟到，对应 \(f(j, k + 1)\)。

每一天都用新数组接住结果，避免覆盖仍要读取的旧状态。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。其中 \(n\) 为出勤记录的长度。

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class Solution:
    def checkRecord(self, n: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        f = [[1] * 3 for _ in range(2)]
        for _ in range(n):
            g = [[0] * 3 for _ in range(2)]
            for j in range(2):
                for k in range(3):
                    ans = f[j][0]
                    if j == 0:
                        ans += f[1][0]
                    if k < 2:
                        ans += f[j][k + 1]
                    g[j][k] = ans % mod
            f = g
        return f[0][0]

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class Solution {
    public int checkRecord(int n) {
        final int mod = (int) 1e9 + 7;
        int[][] f = {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}};
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int[][] g = new int[2][3];
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                for (int k = 0; k < 3; ++k) {
                    int ans = f[j][0];
                    if (j == 0) {
                        ans = (ans + f[1][0]) % mod;
                    }
                    if (k < 2) {
                        ans = (ans + f[j][k + 1]) % mod;
                    }
                    g[j][k] = ans % mod;
                }
            }
            f = g;
        }
        return f[0][0];
    }
}

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class Solution {
public:
    int checkRecord(int n) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        int f[2][3] = {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}};
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int g[2][3]{};
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                for (int k = 0; k < 3; ++k) {
                    int ans = f[j][0];
                    if (j == 0) {
                        ans = (ans + f[1][0]) % mod;
                    }
                    if (k < 2) {
                        ans = (ans + f[j][k + 1]) % mod;
                    }
                    g[j][k] = ans % mod;
                }
            }
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                for (int k = 0; k < 3; ++k) {
                    f[j][k] = g[j][k];
                }
            }
        }
        return f[0][0];
    }
};

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func checkRecord(n int) int {
    const mod = int(1e9 + 7)
    f := [2][3]int{{1, 1, 1}, {1, 1, 1}}
    for i := 0; i < n; i++ {
        var g [2][3]int
        for j := 0; j < 2; j++ {
            for k := 0; k < 3; k++ {
                ans := f[j][0]
                if j == 0 {
                    ans = (ans + f[1][0]) % mod
                }
                if k < 2 {
                    ans = (ans + f[j][k+1]) % mod
                }
                g[j][k] = ans % mod
            }
        }
        f = g
    }
    return f[0][0]
}

方法二：动态规划

思考

上一种做法只保留六个后缀方案数。这里把每一天的前缀方案都记下来，天数下标留在表里。

\(dp[i][j][k]\) 表示前 \(i+1\) 天、缺勤 \(j\) 次、连续迟到 \(k\) 次的方案数。按放 A / L / P 从上一天转移。最后对最后一天的所有 \((j,k)\) 求和。

动态规划，定义 dp[i][j][k] 表示前 i 天，缺勤 j 次，连续迟到 k 次时，可获得出勤奖励的情况数量

状态转移需要对第 i 天的出勤情况分别讨论：

  • 缺勤：之前不能有任何缺勤记录，即 j == 0
  • 迟到：之前最多连续迟到 1 次，即 k == 0 || k == 1
  • 到场：无限制
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class Solution:
    def checkRecord(self, n: int) -> int:
        mod = int(1e9 + 7)
        dp = [[[0, 0, 0], [0, 0, 0]] for _ in range(n)]

        # base case
        dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = dp[0][1][0] = 1

        for i in range(1, n):
            # A
            dp[i][1][0] = (dp[i - 1][0][0] + dp[i - 1][0][1] + dp[i - 1][0][2]) % mod
            # L
            dp[i][0][1] = dp[i - 1][0][0]
            dp[i][0][2] = dp[i - 1][0][1]
            dp[i][1][1] = dp[i - 1][1][0]
            dp[i][1][2] = dp[i - 1][1][1]
            # P
            dp[i][0][0] = (dp[i - 1][0][0] + dp[i - 1][0][1] + dp[i - 1][0][2]) % mod
            dp[i][1][0] = (
                dp[i][1][0] + dp[i - 1][1][0] + dp[i - 1][1][1] + dp[i - 1][1][2]
            ) % mod

        ans = 0
        for j in range(2):
            for k in range(3):
                ans = (ans + dp[n - 1][j][k]) % mod
        return ans

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class Solution {
    private static final int MOD = 1000000007;

    public int checkRecord(int n) {
        long[][][] dp = new long[n][2][3];

        // base case
        dp[0][0][0] = 1;
        dp[0][0][1] = 1;
        dp[0][1][0] = 1;

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // A
            dp[i][1][0] = (dp[i - 1][0][0] + dp[i - 1][0][1] + dp[i - 1][0][2]) % MOD;
            // L
            dp[i][0][1] = dp[i - 1][0][0];
            dp[i][0][2] = dp[i - 1][0][1];
            dp[i][1][1] = dp[i - 1][1][0];
            dp[i][1][2] = dp[i - 1][1][1];
            // P
            dp[i][0][0] = (dp[i - 1][0][0] + dp[i - 1][0][1] + dp[i - 1][0][2]) % MOD;
            dp[i][1][0] = (dp[i][1][0] + dp[i - 1][1][0] + dp[i - 1][1][1] + dp[i - 1][1][2]) % MOD;
        }

        long ans = 0;
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            for (int k = 0; k < 3; k++) {
                ans = (ans + dp[n - 1][j][k]) % MOD;
            }
        }
        return (int) ans;
    }
}

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constexpr int MOD = 1e9 + 7;

class Solution {
public:
    int checkRecord(int n) {
        using ll = long long;
        vector<vector<vector<ll>>> dp(n, vector<vector<ll>>(2, vector<ll>(3)));

        // base case
        dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = dp[0][1][0] = 1;

        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            // A
            dp[i][1][0] = (dp[i - 1][0][0] + dp[i - 1][0][1] + dp[i - 1][0][2]) % MOD;
            // L
            dp[i][0][1] = dp[i - 1][0][0];
            dp[i][0][2] = dp[i - 1][0][1];
            dp[i][1][1] = dp[i - 1][1][0];
            dp[i][1][2] = dp[i - 1][1][1];
            // P
            dp[i][0][0] = (dp[i - 1][0][0] + dp[i - 1][0][1] + dp[i - 1][0][2]) % MOD;
            dp[i][1][0] = (dp[i][1][0] + dp[i - 1][1][0] + dp[i - 1][1][1] + dp[i - 1][1][2]) % MOD;
        }

        ll ans = 0;
        for (int j = 0; j < 2; ++j) {
            for (int k = 0; k < 3; ++k) {
                ans = (ans + dp[n - 1][j][k]) % MOD;
            }
        }
        return ans;
    }
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const _mod int = 1e9 + 7

func checkRecord(n int) int {
    dp := make([][][]int, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        dp[i] = make([][]int, 2)
        for j := 0; j < 2; j++ {
            dp[i][j] = make([]int, 3)
        }
    }

    // base case
    dp[0][0][0] = 1
    dp[0][0][1] = 1
    dp[0][1][0] = 1

    for i := 1; i < n; i++ {
        // A
        dp[i][1][0] = (dp[i-1][0][0] + dp[i-1][0][1] + dp[i-1][0][2]) % _mod
        // L
        dp[i][0][1] = dp[i-1][0][0]
        dp[i][0][2] = dp[i-1][0][1]
        dp[i][1][1] = dp[i-1][1][0]
        dp[i][1][2] = dp[i-1][1][1]
        // P
        dp[i][0][0] = (dp[i-1][0][0] + dp[i-1][0][1] + dp[i-1][0][2]) % _mod
        dp[i][1][0] = (dp[i][1][0] + dp[i-1][1][0] + dp[i-1][1][1] + dp[i-1][1][2]) % _mod
    }

    var ans int
    for j := 0; j < 2; j++ {
        for k := 0; k < 3; k++ {
            ans = (ans + dp[n-1][j][k]) % _mod
        }
    }
    return ans
}

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