剑指 Offer II 100. 三角形中最小路径之和

题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是下标与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-10⁴ <= triangle[i][j] <= 10⁴

进阶：

你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

注意：本题与主站 120 题相同： https://leetcode.cn/problems/triangle/

解法

方法一：动态规划

思考

每步只能走到下一行相邻位置。自上而下时下一行的边界需要额外判断。

自底向上：\(dp[i][j]\) 等于下一行左右两格的较小者加上自身，顶点自然成为答案，无需处理越界。

从三角形底部向上推。\(dp[i][j]\) 表示从底部走到位置 \((i,j)\) 的最小路径和：\(dp[i][j]=\min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + \textit{triangle}[i][j]\)。答案为 \(dp[0][0]\)。

时间复杂度 \(O(n^2)\)，空间复杂度 \(O(n^2)\)。其中 \(n\) 是三角形的行数。

Python3JavaC++Go

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            for j in range(i + 1):
                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j]
        return dp[0][0]

class Solution {

    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<int> dp(n + 1);
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i)
            for (int j = 0; j <= i; ++j)
                dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j];
        return dp[0];
    }
};

func minimumTotal(triangle [][]int) int {
    n := len(triangle)
    dp := make([]int, n+1)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        for j := 0; j <= i; j++ {
            dp[j] = min(dp[j], dp[j+1]) + triangle[i][j]
        }
    }
    return dp[0]
}

方法二：动态规划（空间优化）

思考

方法一的每一行只依赖下一行。用一维数组从下往上覆盖，空间与行数同阶。

每一行只依赖下一行，用一维数组从下往上覆盖即可，空间复杂度 \(O(n)\)。

Python3Swift

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        dp = [0] * (n + 1)
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            for j in range(i + 1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j]
        return dp[0]

class Solution {
    func minimumTotal(_ triangle: [[Int]]) -> Int {
        let n = triangle.count
        var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)

        for i in (0..<n).reversed() {
            for j in 0...i {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j]
            }
        }

        return dp[0]
    }
}

剑指 Offer II 100. 三角形中最小路径之和

题目描述

解法

方法一：动态规划

方法二：动态规划（空间优化）

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