2328. 网格图中递增路径的数目

来源第 300 场周赛 Q4难度困难分数2001

题目描述

给你一个 m x n 的整数网格图 grid ，你可以从一个格子移动到 4 个方向相邻的任意一个格子。

请你返回在网格图中从任意格子出发，达到任意格子，且路径中的数字是 严格递增 的路径数目。由于答案可能会很大，请将结果对 10⁹ + 7 取余后返回。

如果两条路径中访问过的格子不是完全相同的，那么它们视为两条不同的路径。

示例 1：

输入：grid = [[1,1],[3,4]]
输出：8
解释：严格递增路径包括：
- 长度为 1 的路径：[1]，[1]，[3]，[4] 。
- 长度为 2 的路径：[1 -> 3]，[1 -> 4]，[3 -> 4] 。
- 长度为 3 的路径：[1 -> 3 -> 4] 。
路径数目为 4 + 3 + 1 = 8 。

示例 2：

输入：grid = [[1],[2]]
输出：3
解释：严格递增路径包括：
- 长度为 1 的路径：[1]，[2] 。
- 长度为 2 的路径：[1 -> 2] 。
路径数目为 2 + 1 = 3 。

提示：

m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 1000
1 <= m * n <= 10⁵
1 <= grid[i][j] <= 10⁵

解法

方法一：记忆化搜索

思考

严格递增路径可从任意格出发、任意长度。网格至多 \(10^5\) 格，枚举路径不可行。从一格出发的路径数只取决于能走到的更大邻居。

记忆化 \(dfs(i,j)\)：自身一条，加上四个严格更大邻居的方案。每个格子计算一次，总和即为全部路径数。

我们设计一个函数 \(dfs(i, j)\)，表示从网格图中的第 \(i\) 行第 \(j\) 列的格子出发，能够到达任意格子的严格递增路径数目。那么答案就是 \(\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} dfs(i, j)\)。搜索过程中，我们可以用一个二维数组 \(f\) 记录已经计算过的结果，避免重复计算。

函数 \(dfs(i, j)\) 的计算过程如下：

如果 \(f[i][j]\) 不为 \(0\)，说明已经计算过，直接返回 \(f[i][j]\)；
否则，我们初始化 \(f[i][j] = 1\)，然后枚举 \((i, j)\) 的四个方向，如果某个方向的格子 \((x, y)\) 满足 \(0 \leq x \lt m\), \(0 \leq y \lt n\) 且 \(grid[i][j] \lt grid[x][y]\)，我们就可以从格子 \((i, j)\) 出发，到达格子 \((x, y)\)，且路径上的数字是严格递增的，因此有 \(f[i][j] += dfs(x, y)\)。

最后，我们返回 \(f[i][j]\)。

答案为 \(\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} dfs(i, j)\)。

时间复杂度 \(O(m \times n)\)，空间复杂度 \(O(m \times n)\)。其中 \(m\) 和 \(n\) 分别是网格图的行数和列数。

相似题目：

329. 矩阵中的最长递增路径。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def countPaths(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        @cache
        def dfs(i: int, j: int) -> int:
            ans = 1
            for a, b in pairwise((-1, 0, 1, 0, -1)):
                x, y = i + a, j + b
                if 0 <= x < m and 0 <= y < n and grid[i][j] < grid[x][y]:
                    ans = (ans + dfs(x, y)) % mod
            return ans

        mod = 10**9 + 7
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        return sum(dfs(i, j) for i in range(m) for j in range(n)) % mod

class Solution {
    private int[][] f;
    private int[][] grid;
    private int m;
    private int n;
    private final int mod = (int) 1e9 + 7;

    public int countPaths(int[][] grid) {
        m = grid.length;
        n = grid[0].length;
        this.grid = grid;
        f = new int[m][n];
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                ans = (ans + dfs(i, j)) % mod;
            }
        }
        return ans;
    }

    private int dfs(int i, int j) {
        if (f[i][j] != 0) {
            return f[i][j];
        }
        int ans = 1;
        int[] dirs = {-1, 0, 1, 0, -1};
        for (int k = 0; k < 4; ++k) {
            int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
            if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y]) {
                ans = (ans + dfs(x, y)) % mod;
            }
        }
        return f[i][j] = ans;
    }
}

class Solution {
public:
    int countPaths(vector<vector<int>>& grid) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        int f[m][n];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> int {
            if (f[i][j]) {
                return f[i][j];
            }
            int ans = 1;
            int dirs[5] = {-1, 0, 1, 0, -1};
            for (int k = 0; k < 4; ++k) {
                int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
                if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y]) {
                    ans = (ans + dfs(x, y)) % mod;
                }
            }
            return f[i][j] = ans;
        };
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                ans = (ans + dfs(i, j)) % mod;
            }
        }
        return ans;
    }
};

func countPaths(grid [][]int) (ans int) {
    const mod = 1e9 + 7
    m, n := len(grid), len(grid[0])
    f := make([][]int, m)
    for i := range f {
        f[i] = make([]int, n)
    }
    var dfs func(int, int) int
    dfs = func(i, j int) int {
        if f[i][j] != 0 {
            return f[i][j]
        }
        f[i][j] = 1
        dirs := [5]int{-1, 0, 1, 0, -1}
        for k := 0; k < 4; k++ {
            x, y := i+dirs[k], j+dirs[k+1]
            if x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y] {
                f[i][j] = (f[i][j] + dfs(x, y)) % mod
            }
        }
        return f[i][j]
    }
    for i, row := range grid {
        for j := range row {
            ans = (ans + dfs(i, j)) % mod
        }
    }
    return
}

function countPaths(grid: number[][]): number {
    const mod = 1e9 + 7;
    const m = grid.length;
    const n = grid[0].length;
    const f = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
    const dfs = (i: number, j: number): number => {
        if (f[i][j]) {
            return f[i][j];
        }
        let ans = 1;
        const dirs: number[] = [-1, 0, 1, 0, -1];
        for (let k = 0; k < 4; ++k) {
            const x = i + dirs[k];
            const y = j + dirs[k + 1];
            if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && grid[i][j] < grid[x][y]) {
                ans = (ans + dfs(x, y)) % mod;
            }
        }
        return (f[i][j] = ans);
    };
    let ans = 0;
    for (let i = 0; i < m; ++i) {
        for (let j = 0; j < n; ++j) {
            ans = (ans + dfs(i, j)) % mod;
        }
    }
    return ans;
}

方法二：排序 + 动态规划

思考

严格递增路径可从任意格出发。网格至多 \(10^5\) 格。若从每个格子记忆化走向更大的邻居，一行严格递增的 \(1000\) 个数就会把调用栈用尽，而 \(m\) 和 \(n\) 都可以到 \(1000\)。

瓶颈是这条递增链：每一步只进入尚未算完的更大邻居，深度与格子数同阶。

一格的方案数只依赖严格更大的邻居，这些边构成有向无环图。

因此按格子值从大到小处理。先令 \(f[i][j]=1\)，再把四个更大邻居已经算完的方案数加进来，并对 \(10^9+7\) 取模。全部 \(f\) 之和再取模，就是从任意格出发的路径总数。

令 \(f[i][j]\) 表示从第 \(i\) 行第 \(j\) 列出发的严格递增路径数。一格至少有一条只含自己的路径，所以初值为 \(1\)。它还能走向四个方向上严格更大的邻居，因此

\[ f[i][j] = 1 + \sum_{\substack{(x,y)\sim(i,j)\\ grid[i][j] < grid[x][y]}} f[x][y] \pmod{10^9+7}. \]

值更大的格子不依赖当前格子，按 \(grid\) 从大到小处理时，这些 \(f[x][y]\) 已经就绪。答案为 \(\sum f[i][j]\) 对 \(10^9+7\) 取模。

时间复杂度 \(O(mn \log(mn))\)，空间复杂度 \(O(mn)\)。其中 \(m\) 和 \(n\) 分别是网格图的行数和列数。