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面试题 14- I. 剪绳子

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

  • 2 <= n <= 58

注意：本题与主站 343 题相同：https://leetcode.cn/problems/integer-break/

解法

方法一：动态规划

我们定义 \(f[i]\) 表示正整数 \(i\) 拆分后能获得的最大乘积，初始时 \(f[1] = 1\)。答案即为 \(f[n]\)。

考虑 \(i\) 最后拆分出的数字 \(j\)，其中 \(j \in [1, i)\)。对于 \(i\) 拆分出的数字 \(j\)，有两种情况：

  1. 将 \(i\) 拆分成 \(i - j\) 和 \(j\) 的和，不继续拆分，此时乘积为 \((i - j) \times j\)；
  2. 将 \(i\) 拆分成 \(i - j\) 和 \(j\) 的和，继续拆分，此时乘积为 \(f[i - j] \times j\)。

因此，我们可以得到状态转移方程：

\[ f[i] = \max(f[i], f[i - j] \times j, (i - j) \times j) \quad (j \in [0, i)) \]

最后返回 \(f[n]\) 即可。

时间复杂度 \(O(n^2)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 为给定的正整数。

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class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        f = [1] * (n + 1)
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(1, i):
                f[i] = max(f[i], f[i - j] * j, (i - j) * j)
        return f[n]

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class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                f[i] = Math.max(Math.max(f[i], f[i - j] * j), (i - j) * j);
            }
        }
        return f[n];
    }
}

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class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        vector<int> f(n + 1);
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                f[i] = max({f[i], f[i - j] * j, (i - j) * j});
            }
        }
        return f[n];
    }
};

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func cuttingRope(n int) int {
    f := make([]int, n+1)
    f[1] = 1
    for i := 2; i <= n; i++ {
        for j := 1; j < i; j++ {
            f[i] = max(f[i], f[i-j]*j, (i-j)*j)
        }
    }
    return f[n]
}

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function cuttingRope(n: number): number {
    const f: number[] = Array(n + 1).fill(1);
    for (let i = 2; i <= n; ++i) {
        for (let j = 1; j < i; ++j) {
            f[i] = Math.max(f[i], f[i - j] * j, (i - j) * j);
        }
    }
    return f[n];
}

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impl Solution {
    pub fn cutting_rope(n: i32) -> i32 {
        let n = n as usize;
        let mut f = vec![0; n + 1];
        f[1] = 1;
        for i in 2..=n {
            for j in 1..i {
                f[i] = f[i].max(f[i - j] * j).max((i - j) * j);
            }
        }
        f[n] as i32
    }
}

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/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var cuttingRope = function (n) {
    const f = Array(n + 1).fill(1);
    for (let i = 2; i <= n; ++i) {
        for (let j = 1; j < i; ++j) {
            f[i] = Math.max(f[i], f[i - j] * j, (i - j) * j);
        }
    }
    return f[n];
};

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public class Solution {
    public int CuttingRope(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                f[i] = Math.Max(Math.Max(f[i], f[i - j] * j), (i - j) * j);
            }
        }
        return f[n];
    }
}

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class Solution {
    func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
        var f = [Int](repeating: 0, count: n + 1)
        f[1] = 1
        for i in 2...n {
            for j in 1..<i {
                f[i] = max(f[i], max(f[i - j] * j, (i - j) * j))
            }
        }
        return f[n]
    }
}

方法二：数学

当 \(n \lt 4\) 时，由于题目要求至少剪一次，因此 \(n - 1\) 是最大乘积。当 \(n \ge 4\) 时，我们尽可能多地拆分 \(3\)，当剩下的最后一段为 \(4\) 时，我们将其拆分为 \(2 + 2\)，这样乘积最大。

时间复杂度 \(O(1)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n < 4:
            return n - 1
        if n % 3 == 0:
            return pow(3, n // 3)
        if n % 3 == 1:
            return pow(3, n // 3 - 1) * 4
        return pow(3, n // 3) * 2

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class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if (n < 4) {
            return n - 1;
        }
        if (n % 3 == 0) {
            return (int) Math.pow(3, n / 3);
        }
        if (n % 3 == 1) {
            return (int) Math.pow(3, n / 3 - 1) * 4;
        }
        return (int) Math.pow(3, n / 3) * 2;
    }
}

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class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if (n < 4) {
            return n - 1;
        }
        if (n % 3 == 0) {
            return pow(3, n / 3);
        }
        if (n % 3 == 1) {
            return pow(3, n / 3 - 1) * 4;
        }
        return pow(3, n / 3) * 2;
    }
};

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func cuttingRope(n int) int {
    if n < 4 {
        return n - 1
    }
    if n%3 == 0 {
        return int(math.Pow(3, float64(n/3)))
    }
    if n%3 == 1 {
        return int(math.Pow(3, float64(n/3-1))) * 4
    }
    return int(math.Pow(3, float64(n/3))) * 2
}

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function cuttingRope(n: number): number {
    if (n < 4) {
        return n - 1;
    }
    const m = Math.floor(n / 3);
    if (n % 3 == 0) {
        return 3 ** m;
    }
    if (n % 3 == 1) {
        return 3 ** (m - 1) * 4;
    }
    return 3 ** m * 2;
}

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impl Solution {
    pub fn cutting_rope(n: i32) -> i32 {
        if n < 4 {
            return n - 1;
        }
        let count = (n - 2) / 3;
        (3i32).pow(count as u32) * (n - count * 3)
    }
}

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/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var cuttingRope = function (n) {
    if (n < 4) {
        return n - 1;
    }
    const m = Math.floor(n / 3);
    if (n % 3 == 0) {
        return 3 ** m;
    }
    if (n % 3 == 1) {
        return 3 ** (m - 1) * 4;
    }
    return 3 ** m * 2;
};

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public class Solution {
    public int CuttingRope(int n) {
        if (n < 4) {
            return n - 1;
        }
        if (n % 3 == 0) {
            return (int) Math.Pow(3, n / 3);
        }
        if (n % 3 == 1) {
            return (int) Math.Pow(3, n / 3 - 1) * 4;
        }
        return (int) Math.Pow(3, n / 3) * 2;
    }
}

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