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1918. 第 K 小的子数组和 🔒

题目描述

给你一个 长度为 n 的整型数组 nums 和一个数值 k ，返回 第 k 小的子数组和。

子数组 是指数组中一个 非空 且不间断的子序列。  子数组和 则指子数组中所有元素的和。

 

示例 1:

输入: nums = [2,1,3], k = 4
输出: 3
解释: [2,1,3] 的子数组为：
- [2] 和为 2
- [1] 和为 1
- [3] 和为 3
- [2,1] 和为 3
- [1,3] 和为 4
- [2,1,3] 和为 6 
最小子数组和的升序排序为 1, 2, 3, 3, 4, 6。 第 4 小的子数组和为 3 。

示例 2：

输入：nums = [3,3,5,5], k = 7
输出：10
解释：[3,3,5,5] 的子数组为：
- [3] 和为 3
- [3] 和为 3
- [5] 和为 5
- [5] 和为 5
- [3,3] 和为 6
- [3,5] 和为 8
- [5,5] 和为 10
- [3,3,5], 和为 11
- [3,5,5] 和为 13
- [3,3,5,5] 和为 16
最小子数组和的升序排序为 3, 3, 5, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 16。第 7 小的子数组和为 10 。

 

提示:

  • n == nums.length
  • 1 <= n <= 2 * 104
  • 1 <= nums[i] <= 5 * 104
  • 1 <= k <= n * (n + 1) / 2

解法

方法一：二分查找 + 双指针

我们注意到，题目中数组元素均为正整数，子数组的和 \(s\) 越大，那么数组中子数组和小于等于 \(s\) 的个数就越多。这存在一个单调性，因此我们可以考虑使用使用二分查找的方法来求解。

我们二分枚举子数组的和，初始化左右边界分别为数组 \(\textit{nums}\) 中的最小值以及所有元素之和。每次我们计算数组中子数组和小于等于当前枚举值的个数，如果个数大于等于 \(k\)，则说明当前枚举值 \(s\) 可能是第 \(k\) 小的子数组和，我们缩小右边界，否则我们增大左边界。枚举结束后，左边界即为第 \(k\) 小的子数组和。

问题转换为计算一个数组中，有多少个子数组的和小于等于 \(s\)，我们可以通过函数 \(f(s)\) 来计算。

函数 \(f(s)\) 的计算方法如下：

  • 初始化双指针 \(j\) 和 \(i\)，分别指向当前窗口的左右边界，初始时 \(j = i = 0\)。初始化窗口内元素的和 \(t = 0\)。
  • 用变量 \(\textit{cnt}\) 记录子数组和小于等于 \(s\) 的个数，初始时 \(\textit{cnt} = 0\)。
  • 遍历数组 \(\textit{nums}\)，每次遍历到一个元素 \(\textit{nums}[i]\)，我们将其加入窗口，即 \(t = t + \textit{nums}[i]\)。如果此时 \(t \gt s\)，我们需要不断地将窗口的左边界右移，直到 \(t \le s\) 为止，即不断地执行 \(t -= \textit{nums}[j]\)，并且 \(j = j + 1\)。接下来我们更新 \(\textit{cnt}\)，即 \(\textit{cnt} = \textit{cnt} + i - j + 1\)。继续遍历下一个元素，直到遍历完整个数组。

最后将 \(cnt\) 作为函数 \(f(s)\) 的返回值。

时间复杂度 \(O(n \times \log S)\)，其中 \(n\) 为数组 \(\textit{nums}\) 的长度，而 \(S\) 为数组 \(\textit{nums}\) 中所有元素之和。空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def kthSmallestSubarraySum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        def f(s):
            t = j = 0
            cnt = 0
            for i, x in enumerate(nums):
                t += x
                while t > s:
                    t -= nums[j]
                    j += 1
                cnt += i - j + 1
            return cnt >= k

        l, r = min(nums), sum(nums)
        return l + bisect_left(range(l, r + 1), True, key=f)

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class Solution {
    public int kthSmallestSubarraySum(int[] nums, int k) {
        int l = 1 << 30, r = 0;
        for (int x : nums) {
            l = Math.min(l, x);
            r += x;
        }
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (f(nums, mid) >= k) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return l;
    }

    private int f(int[] nums, int s) {
        int t = 0, j = 0;
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; ++i) {
            t += nums[i];
            while (t > s) {
                t -= nums[j++];
            }
            cnt += i - j + 1;
        }
        return cnt;
    }
}

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class Solution {
public:
    int kthSmallestSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        int l = 1 << 30, r = 0;
        for (int& x : nums) {
            l = min(l, x);
            r += x;
        }
        auto f = [&](int s) {
            int cnt = 0, t = 0;
            for (int i = 0, j = 0; i < nums.size(); ++i) {
                t += nums[i];
                while (t > s) {
                    t -= nums[j++];
                }
                cnt += i - j + 1;
            }
            return cnt;
        };
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (f(mid) >= k) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return l;
    }
};

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func kthSmallestSubarraySum(nums []int, k int) int {
    l, r := 1<<30, 0
    for _, x := range nums {
        l = min(l, x)
        r += x
    }
    f := func(s int) (cnt int) {
        t := 0
        for i, j := 0, 0; i < len(nums); i++ {
            t += nums[i]
            for t > s {
                t -= nums[j]
                j++
            }
            cnt += i - j + 1
        }
        return
    }
    for l < r {
        mid := (l + r) >> 1
        if f(mid) >= k {
            r = mid
        } else {
            l = mid + 1
        }
    }
    return l
}

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function kthSmallestSubarraySum(nums: number[], k: number): number {
    let l = Math.min(...nums);
    let r = nums.reduce((sum, x) => sum + x, 0);

    const f = (s: number): number => {
        let cnt = 0;
        let t = 0;
        let j = 0;

        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
            t += nums[i];
            while (t > s) {
                t -= nums[j];
                j++;
            }
            cnt += i - j + 1;
        }
        return cnt;
    };

    while (l < r) {
        const mid = (l + r) >> 1;
        if (f(mid) >= k) {
            r = mid;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return l;
}

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impl Solution {
    pub fn kth_smallest_subarray_sum(nums: Vec<i32>, k: i32) -> i32 {
        let mut l = *nums.iter().min().unwrap();
        let mut r: i32 = nums.iter().sum();

        let f = |s: i32| -> i32 {
            let (mut cnt, mut t, mut j) = (0, 0, 0);

            for i in 0..nums.len() {
                t += nums[i];
                while t > s {
                    t -= nums[j];
                    j += 1;
                }
                cnt += (i - j + 1) as i32;
            }
            cnt
        };

        while l < r {
            let mid = (l + r) / 2;
            if f(mid) >= k {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        l
    }
}

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object Solution {
    def kthSmallestSubarraySum(nums: Array[Int], k: Int): Int = {
        var l = Int.MaxValue
        var r = 0

        for (x <- nums) {
            l = l.min(x)
            r += x
        }

        def f(s: Int): Int = {
            var cnt = 0
            var t = 0
            var j = 0

            for (i <- nums.indices) {
                t += nums(i)
                while (t > s) {
                    t -= nums(j)
                    j += 1
                }
                cnt += i - j + 1
            }
            cnt
        }

        while (l < r) {
            val mid = (l + r) / 2
            if (f(mid) >= k) r = mid
            else l = mid + 1
        }
        l
    }
}

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