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174. 地下城游戏

题目描述

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

 

示例 1：

输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：

输入：dungeon = [[0]]
输出：1

 

提示：

  • m == dungeon.length
  • n == dungeon[i].length
  • 1 <= m, n <= 200
  • -1000 <= dungeon[i][j] <= 1000

解法

方法一：动态规划

我们定义 \(dp[i][j]\) 表示从 \((i, j)\) 到终点所需的最小初始值，那么 \(dp[i][j]\) 的值可以由 \(dp[i+1][j]\) 和 \(dp[i][j+1]\) 得到，即：

\[ dp[i][j] = \max(\min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) - dungeon[i][j], 1) \]

初始时 \(dp[m][n-1]\) 和 \(dp[m-1][n]\) 都为 \(1\)，其他位置的值为最大值。

时间复杂度 \(O(m \times n)\)，空间复杂度 \(O(m \times n)\)。其中 \(m\) 和 \(n\) 分别为地牢的行数和列数。

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class Solution:
    def calculateMinimumHP(self, dungeon: List[List[int]]) -> int:
        m, n = len(dungeon), len(dungeon[0])
        dp = [[inf] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1
        for i in range(m - 1, -1, -1):
            for j in range(n - 1, -1, -1):
                dp[i][j] = max(1, min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j])
        return dp[0][0]

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class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        int m = dungeon.length, n = dungeon[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for (var e : dp) {
            Arrays.fill(e, 1 << 30);
        }
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
        for (int i = m - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = n - 1; j >= 0; --j) {
                dp[i][j] = Math.max(1, Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

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class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        int m = dungeon.size(), n = dungeon[0].size();
        int dp[m + 1][n + 1];
        memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
        for (int i = m - 1; ~i; --i) {
            for (int j = n - 1; ~j; --j) {
                dp[i][j] = max(1, min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
};

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func calculateMinimumHP(dungeon [][]int) int {
    m, n := len(dungeon), len(dungeon[0])
    dp := make([][]int, m+1)
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, n+1)
        for j := range dp[i] {
            dp[i][j] = 1 << 30
        }
    }
    dp[m][n-1], dp[m-1][n] = 1, 1
    for i := m - 1; i >= 0; i-- {
        for j := n - 1; j >= 0; j-- {
            dp[i][j] = max(1, min(dp[i+1][j], dp[i][j+1])-dungeon[i][j])
        }
    }
    return dp[0][0]
}

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public class Solution {
    public int CalculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        int m = dungeon.Length, n = dungeon[0].Length;
        int[][] dp = new int[m + 1][];
        for (int i = 0; i < m + 1; ++i) {
            dp[i] = new int[n + 1];
            Array.Fill(dp[i], 1 << 30);
        }
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
        for (int i = m - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = n - 1; j >= 0; --j) {
                dp[i][j] = Math.Max(1, Math.Min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

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