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LCP 07. 传递信息

题目描述

小朋友 A 在和 ta 的小伙伴们玩传信息游戏，游戏规则如下：

  1. 有 n 名玩家，所有玩家编号分别为 0 ～ n-1，其中小朋友 A 的编号为 0
  2. 每个玩家都有固定的若干个可传信息的其他玩家（也可能没有）。传信息的关系是单向的（比如 A 可以向 B 传信息，但 B 不能向 A 传信息）。
  3. 每轮信息必须需要传递给另一个人，且信息可重复经过同一个人

给定总玩家数 n，以及按 [玩家编号,对应可传递玩家编号] 关系组成的二维数组 relation。返回信息从小 A (编号 0 ) 经过 k 轮传递到编号为 n-1 的小伙伴处的方案数；若不能到达，返回 0。

示例 1：

输入：n = 5, relation = [[0,2],[2,1],[3,4],[2,3],[1,4],[2,0],[0,4]], k = 3

输出：3

解释：信息从小 A 编号 0 处开始，经 3 轮传递，到达编号 4。共有 3 种方案，分别是 0->2->0->4， 0->2->1->4， 0->2->3->4。

示例 2：

输入：n = 3, relation = [[0,2],[2,1]], k = 2

输出：0

解释：信息不能从小 A 处经过 2 轮传递到编号 2

限制：

  • 2 <= n <= 10
  • 1 <= k <= 5
  • 1 <= relation.length <= 90, 且 relation[i].length == 2
  • 0 <= relation[i][0],relation[i][1] < n 且 relation[i][0] != relation[i][1]

解法

方法一：动态规划

我们定义 \(f[i][j]\) 表示经过 \(i\) 轮传递到编号 \(j\) 的方案数，那么最终答案即为 \(f[k][n-1]\)。初始时 \(f[0][0]=1\)，其余均为 \(0\)。

当 \(i \gt 0\) 时，对于每个玩家 \(b\)，考虑所有传递到他的玩家 \(a\)，有 \(f[i][b]=\sum_{a \to b} f[i-1][a]\)，其中 \(a \to b\) 表示所有满足 \(a\) 可以传递到 \(b\) 的玩家 \(a\)。

最终答案即为 \(f[k][n-1]\)。

我们注意到 \(f[i][b]\) 只与 \(f[i-1][a]\) 有关，根据状态转移方程，我们可以使用滚动数组的方式，将空间复杂度优化到 \(O(n)\)。

时间复杂度 \(O(k \times m)\)，空间复杂度 \(O(n)\)，其中 \(m\) 为 \(relation\) 的长度。

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class Solution:
    def numWays(self, n: int, relation: List[List[int]], k: int) -> int:
        f = [[0] * n for _ in range(k + 1)]
        f[0][0] = 1
        for i in range(1, k + 1):
            for a, b in relation:
                f[i][b] += f[i - 1][a]
        return f[-1][-1]

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class Solution {
    public int numWays(int n, int[][] relation, int k) {
        int[][] f = new int[k + 1][n];
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= k; ++i) {
            for (int[] r : relation) {
                int a = r[0], b = r[1];
                f[i][b] += f[i - 1][a];
            }
        }
        return f[k][n - 1];
    }
}

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class Solution {
public:
    int numWays(int n, vector<vector<int>>& relation, int k) {
        int f[k + 1][n];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= k; ++i) {
            for (auto& r : relation) {
                int a = r[0], b = r[1];
                f[i][b] += f[i - 1][a];
            }
        }
        return f[k][n - 1];
    }
};

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func numWays(n int, relation [][]int, k int) int {
    f := make([][]int, k+1)
    for i := range f {
        f[i] = make([]int, n)
    }
    f[0][0] = 1
    for i := 1; i <= k; i++ {
        for _, r := range relation {
            a, b := r[0], r[1]
            f[i][b] += f[i-1][a]
        }
    }
    return f[k][n-1]
}

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function numWays(n: number, relation: number[][], k: number): number {
    const f: number[][] = Array.from({ length: k + 1 }, () => Array(n).fill(0));
    f[0][0] = 1;
    for (let i = 1; i <= k; ++i) {
        for (const [a, b] of relation) {
            f[i][b] += f[i - 1][a];
        }
    }
    return f[k][n - 1];
}

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class Solution {
    func numWays(_ n: Int, _ relation: [[Int]], _ k: Int) -> Int {
        var f = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: n), count: k + 1)
        f[0][0] = 1

        for i in 1...k {
            for r in relation {
                let a = r[0], b = r[1]
                f[i][b] += f[i - 1][a]
            }
        }
        return f[k][n - 1]
    }
}

方法二

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class Solution:
    def numWays(self, n: int, relation: List[List[int]], k: int) -> int:
        f = [1] + [0] * (n - 1)
        for _ in range(k):
            g = [0] * n
            for a, b in relation:
                g[b] += f[a]
            f = g
        return f[-1]

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class Solution {
    public int numWays(int n, int[][] relation, int k) {
        int[] f = new int[n];
        f[0] = 1;
        while (k-- > 0) {
            int[] g = new int[n];
            for (int[] r : relation) {
                int a = r[0], b = r[1];
                g[b] += f[a];
            }
            f = g;
        }
        return f[n - 1];
    }
}

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class Solution {
public:
    int numWays(int n, vector<vector<int>>& relation, int k) {
        vector<int> f(n);
        f[0] = 1;
        while (k--) {
            vector<int> g(n);
            for (auto& r : relation) {
                int a = r[0], b = r[1];
                g[b] += f[a];
            }
            f = move(g);
        }
        return f[n - 1];
    }
};

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func numWays(n int, relation [][]int, k int) int {
    f := make([]int, n)
    f[0] = 1
    for ; k > 0; k-- {
        g := make([]int, n)
        for _, r := range relation {
            a, b := r[0], r[1]
            g[b] += f[a]
        }
        f = g
    }
    return f[n-1]
}

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function numWays(n: number, relation: number[][], k: number): number {
    let f: number[] = new Array(n).fill(0);
    f[0] = 1;
    while (k--) {
        const g: number[] = new Array(n).fill(0);
        for (const [a, b] of relation) {
            g[b] += f[a];
        }
        f = g;
    }
    return f[n - 1];
}

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class Solution {
    func numWays(_ n: Int, _ relation: [[Int]], _ k: Int) -> Int {
        var f = Array(repeating: 0, count: n)
        f[0] = 1
        var steps = k

        while steps > 0 {
            var g = Array(repeating: 0, count: n)
            for r in relation {
                let a = r[0], b = r[1]
                g[b] += f[a]
            }
            f = g
            steps -= 1
        }

        return f[n - 1]
    }
}

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