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2044. 统计按位或能得到最大值的子集数目

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出 nums 子集 按位或 可能得到的 最大值 ，并返回按位或能得到最大值的 不同非空子集的数目 。

如果数组 a 可以由数组 b 删除一些元素（或不删除）得到，则认为数组 a 是数组 b 的一个 子集 。如果选中的元素下标位置不一样，则认为两个子集 不同 。

对数组 a 执行 按位或 ，结果等于 a[0] OR a[1] OR ... OR a[a.length - 1]（下标从 0 开始）。

 

示例 1：

输入：nums = [3,1]
输出：2
解释：子集按位或能得到的最大值是 3 。有 2 个子集按位或可以得到 3 ：
- [3]
- [3,1]

示例 2：

输入：nums = [2,2,2]
输出：7
解释：[2,2,2] 的所有非空子集的按位或都可以得到 2 。总共有 23 - 1 = 7 个子集。

示例 3：

输入：nums = [3,2,1,5]
输出：6
解释：子集按位或可能的最大值是 7 。有 6 个子集按位或可以得到 7 ：
- [3,5]
- [3,1,5]
- [3,2,5]
- [3,2,1,5]
- [2,5]
- [2,1,5]

 

提示：

  • 1 <= nums.length <= 16
  • 1 <= nums[i] <= 105

解法

方法一：DFS

数组 \(\textit{nums}\) 中按位或的最大值 \(\textit{mx}\) 可以通过对数组中所有元素按位或得到。

然后我们可以使用深度优先搜索来枚举所有子集，统计按位或等于 \(\textit{mx}\) 的子集个数。我们设计一个函数 \(\text{dfs(i, t)}\)，表示从下标 \(\textit{i}\) 开始，当前按位或的值为 \(\textit{t}\) 的子集个数。初始时 \(\textit{i} = 0\), \(\textit{t} = 0\)。

在函数 \(\text{dfs(i, t)}\) 中，如果 \(\textit{i}\) 等于数组长度，说明已经枚举完所有元素，此时如果 \(\textit{t}\) 等于 \(\textit{mx}\)，则答案加一。否则，我们可以选择不包含当前元素 \(\textit{nums[i]}\)，或者包含当前元素 \(\textit{nums[i]}\)，因此我们可以递归调用 \(\text{dfs(i + 1, t)}\) 和 \(\text{dfs(i + 1, t | nums[i])}\)。

最后返回答案即可。

时间复杂度 \(O(2^n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 是数组 \(\textit{nums}\) 的长度。

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class Solution:
    def countMaxOrSubsets(self, nums: List[int]) -> int:
        def dfs(i, t):
            nonlocal ans, mx
            if i == len(nums):
                if t == mx:
                    ans += 1
                return
            dfs(i + 1, t)
            dfs(i + 1, t | nums[i])

        ans = 0
        mx = reduce(lambda x, y: x | y, nums)
        dfs(0, 0)
        return ans

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class Solution {
    private int mx;
    private int ans;
    private int[] nums;

    public int countMaxOrSubsets(int[] nums) {
        mx = 0;
        for (int x : nums) {
            mx |= x;
        }
        this.nums = nums;
        dfs(0, 0);
        return ans;
    }

    private void dfs(int i, int t) {
        if (i == nums.length) {
            if (t == mx) {
                ++ans;
            }
            return;
        }
        dfs(i + 1, t);
        dfs(i + 1, t | nums[i]);
    }
}

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class Solution {
public:
    int countMaxOrSubsets(vector<int>& nums) {
        int ans = 0;
        int mx = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0, bit_or<int>());
        auto dfs = [&](this auto&& dfs, int i, int t) {
            if (i == nums.size()) {
                if (t == mx) {
                    ans++;
                }
                return;
            }
            dfs(i + 1, t);
            dfs(i + 1, t | nums[i]);
        };
        dfs(0, 0);
        return ans;
    }
};

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func countMaxOrSubsets(nums []int) (ans int) {
    mx := 0
    for _, x := range nums {
        mx |= x
    }

    var dfs func(i, t int)
    dfs = func(i, t int) {
        if i == len(nums) {
            if t == mx {
                ans++
            }
            return
        }
        dfs(i+1, t)
        dfs(i+1, t|nums[i])
    }

    dfs(0, 0)
    return
}

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function countMaxOrSubsets(nums: number[]): number {
    let ans = 0;
    const mx = nums.reduce((x, y) => x | y, 0);

    const dfs = (i: number, t: number) => {
        if (i === nums.length) {
            if (t === mx) {
                ans++;
            }
            return;
        }
        dfs(i + 1, t);
        dfs(i + 1, t | nums[i]);
    };

    dfs(0, 0);
    return ans;
}

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impl Solution {
    pub fn count_max_or_subsets(nums: Vec<i32>) -> i32 {
        let mut ans = 0;
        let mx = nums.iter().fold(0, |x, &y| x | y);

        fn dfs(i: usize, t: i32, nums: &Vec<i32>, mx: i32, ans: &mut i32) {
            if i == nums.len() {
                if t == mx {
                    *ans += 1;
                }
                return;
            }
            dfs(i + 1, t, nums, mx, ans);
            dfs(i + 1, t | nums[i], nums, mx, ans);
        }

        dfs(0, 0, &nums, mx, &mut ans);
        ans
    }
}

方法二：二进制枚举

我们可以使用二进制枚举来统计所有子集的按位或结果。对于长度为 \(n\) 的数组 \(\textit{nums}\)，我们可以使用一个整数 \(\textit{mask}\) 来表示一个子集，其中 \(\textit{mask}\) 的第 \(i\) 位为 1 表示包含元素 \(\textit{nums[i]}\)，为 0 则表示不包含。

我们可以遍历所有可能的 \(\textit{mask}\)，从 \(0\) 到 \(2^n - 1\)。对于每个 \(\textit{mask}\)，我们可以计算出对应子集的按位或结果，并更新最大值 \(\textit{mx}\) 和答案 \(\textit{ans}\)。

时间复杂度 \(O(2^n \cdot n)\)，其中 \(n\) 是数组 \(\textit{nums}\) 的长度。空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def countMaxOrSubsets(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans = 0
        mx = 0
        for mask in range(1 << n):
            t = 0
            for i, v in enumerate(nums):
                if (mask >> i) & 1:
                    t |= v
            if mx < t:
                mx = t
                ans = 1
            elif mx == t:
                ans += 1
        return ans

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class Solution {
    public int countMaxOrSubsets(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int ans = 0;
        int mx = 0;
        for (int mask = 1; mask < 1 << n; ++mask) {
            int t = 0;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                if (((mask >> i) & 1) == 1) {
                    t |= nums[i];
                }
            }
            if (mx < t) {
                mx = t;
                ans = 1;
            } else if (mx == t) {
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    int countMaxOrSubsets(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int ans = 0;
        int mx = 0;
        for (int mask = 1; mask < 1 << n; ++mask) {
            int t = 0;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                if ((mask >> i) & 1) {
                    t |= nums[i];
                }
            }
            if (mx < t) {
                mx = t;
                ans = 1;
            } else if (mx == t)
                ++ans;
        }
        return ans;
    }
};

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func countMaxOrSubsets(nums []int) (ans int) {
    n := len(nums)
    mx := 0

    for mask := 0; mask < (1 << n); mask++ {
        t := 0
        for i, v := range nums {
            if (mask>>i)&1 == 1 {
                t |= v
            }
        }
        if mx < t {
            mx = t
            ans = 1
        } else if mx == t {
            ans++
        }
    }

    return
}

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function countMaxOrSubsets(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;
    let ans = 0;
    let mx = 0;

    for (let mask = 0; mask < 1 << n; mask++) {
        let t = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            if ((mask >> i) & 1) {
                t |= nums[i];
            }
        }
        if (mx < t) {
            mx = t;
            ans = 1;
        } else if (mx === t) {
            ans++;
        }
    }

    return ans;
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impl Solution {
    pub fn count_max_or_subsets(nums: Vec<i32>) -> i32 {
        let n = nums.len();
        let mut ans = 0;
        let mut mx = 0;

        for mask in 0..(1 << n) {
            let mut t = 0;
            for i in 0..n {
                if (mask >> i) & 1 == 1 {
                    t |= nums[i];
                }
            }
            if mx < t {
                mx = t;
                ans = 1;
            } else if mx == t {
                ans += 1;
            }
        }

        ans
    }
}

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