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1749. 任意子数组和的绝对值的最大值

来源第 45 场双周赛 Q2难度中等分数1541

题目描述

给你一个整数数组 nums 。一个子数组 [numsl, numsl+1, ..., numsr-1, numsr] 的 和的绝对值 为 abs(numsl + numsl+1 + ... + numsr-1 + numsr) 。

请你找出 nums 中 和的绝对值 最大的任意子数组（可能为空），并返回该 最大值 。

abs(x) 定义如下：

  • 如果 x 是负整数，那么 abs(x) = -x 。
  • 如果 x 是非负整数，那么 abs(x) = x 。

 

示例 1：

输入：nums = [1,-3,2,3,-4]
输出：5
解释：子数组 [2,3] 和的绝对值最大，为 abs(2+3) = abs(5) = 5 。

示例 2：

输入：nums = [2,-5,1,-4,3,-2]
输出：8
解释：子数组 [-5,1,-4] 和的绝对值最大，为 abs(-5+1-4) = abs(-8) = 8 。

 

提示：

  • 1 <= nums.length <= 105
  • -104 <= nums[i] <= 104

解法

方法一：动态规划

思考

子数组和的绝对值最大，等于最大子段和与最小子段和绝对值之中的较大者。

Kadane 同时维护以当前位置结尾的最大和 \(f\) 与最小和 \(g\)，答案取 \(f\) 与 \(|g|\) 的全程最大。

我们定义 \(f[i]\) 表示以 \(nums[i]\) 结尾的子数组的和的最大值，定义 \(g[i]\) 表示以 \(nums[i]\) 结尾的子数组的和的最小值。那么 \(f[i]\) 和 \(g[i]\) 的状态转移方程如下：

\[ \begin{aligned} f[i] &= \max(f[i - 1], 0) + nums[i] \\ g[i] &= \min(g[i - 1], 0) + nums[i] \end{aligned} \]

最后答案为 \(max(f[i], |g[i]|)\) 的最大值。

由于 \(f[i]\) 和 \(g[i]\) 只与 \(f[i - 1]\) 和 \(g[i - 1]\) 有关，因此我们可以使用两个变量代替数组，将空间复杂度降低到 \(O(1)\)。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。其中 \(n\) 为数组 \(nums\) 的长度。

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class Solution:
    def maxAbsoluteSum(self, nums: List[int]) -> int:
        f = g = 0
        ans = 0
        for x in nums:
            f = max(f, 0) + x
            g = min(g, 0) + x
            ans = max(ans, f, abs(g))
        return ans

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class Solution {
    public int maxAbsoluteSum(int[] nums) {
        int f = 0, g = 0;
        int ans = 0;
        for (int x : nums) {
            f = Math.max(f, 0) + x;
            g = Math.min(g, 0) + x;
            ans = Math.max(ans, Math.max(f, Math.abs(g)));
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    int maxAbsoluteSum(vector<int>& nums) {
        int f = 0, g = 0;
        int ans = 0;
        for (int& x : nums) {
            f = max(f, 0) + x;
            g = min(g, 0) + x;
            ans = max({ans, f, abs(g)});
        }
        return ans;
    }
};

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func maxAbsoluteSum(nums []int) (ans int) {
    var f, g int
    for _, x := range nums {
        f = max(f, 0) + x
        g = min(g, 0) + x
        ans = max(ans, max(f, abs(g)))
    }
    return
}

func abs(x int) int {
    if x < 0 {
        return -x
    }
    return x
}

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function maxAbsoluteSum(nums: number[]): number {
    let f = 0;
    let g = 0;
    let ans = 0;
    for (const x of nums) {
        f = Math.max(f, 0) + x;
        g = Math.min(g, 0) + x;
        ans = Math.max(ans, f, -g);
    }
    return ans;
}

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impl Solution {
    pub fn max_absolute_sum(nums: Vec<i32>) -> i32 {
        let mut f = 0;
        let mut g = 0;
        let mut ans = 0;
        for x in nums {
            f = i32::max(f, 0) + x;
            g = i32::min(g, 0) + x;
            ans = i32::max(ans, f.max(-g));
        }
        ans
    }
}

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