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1373. 二叉搜索子树的最大键值和

题目描述

给你一棵以 root 为根的 二叉树 ，请你返回 任意 二叉搜索子树的最大键值和。

二叉搜索树的定义如下：

  • 任意节点的左子树中的键值都 小于 此节点的键值。
  • 任意节点的右子树中的键值都 大于 此节点的键值。
  • 任意节点的左子树和右子树都是二叉搜索树。

 

示例 1：

输入：root = [1,4,3,2,4,2,5,null,null,null,null,null,null,4,6]
输出：20
解释：键值为 3 的子树是和最大的二叉搜索树。

示例 2：

输入：root = [4,3,null,1,2]
输出：2
解释：键值为 2 的单节点子树是和最大的二叉搜索树。

示例 3：

输入：root = [-4,-2,-5]
输出：0
解释：所有节点键值都为负数，和最大的二叉搜索树为空。

示例 4：

输入：root = [2,1,3]
输出：6

示例 5：

输入：root = [5,4,8,3,null,6,3]
输出：7

 

提示：

  • 每棵树有 1 到 40000 个节点。
  • 每个节点的键值在 [-4 * 10^4 , 4 * 10^4] 之间。

解法

方法一：DFS

判断一棵树是否是二叉搜索树，需要满足以下四个条件：

  • 左子树是二叉搜索树；
  • 右子树是二叉搜索树；
  • 左子树的最大值小于根节点的值；
  • 右子树的最小值大于根节点的值。

因此，我们设计一个函数 \(dfs(root)\)，函数的返回值是一个四元组 \((bst, mi, mx, s)\)，其中：

  • 数字 \(bst\) 表示以 \(root\) 为根的树是否是二叉搜索树。如果是二叉搜索树，则 \(bst = 1\)；否则 \(bst = 0\)；
  • 数字 \(mi\) 表示以 \(root\) 为根的树的最小值；
  • 数字 \(mx\) 表示以 \(root\) 为根的树的最大值；
  • 数字 \(s\) 表示以 \(root\) 为根的树的所有节点的和。

函数 \(dfs(root)\) 的执行逻辑如下：

如果 \(root\) 为空节点，则返回 \((1, +\infty, -\infty, 0)\)，表示空树是二叉搜索树，最小值和最大值分别为正无穷和负无穷，节点和为 \(0\)。

否则，递归计算 \(root\) 的左子树和右子树，分别得到 \((lbst, lmi, lmx, ls)\) 和 \((rbst, rmi, rmx, rs)\)，然后判断 \(root\) 节点是否满足二叉搜索树的条件。

如果满足 \(lbst = 1\) 且 \(rbst = 1\) 且 \(lmx \lt root.val \lt rmi\)，则以 \(root\) 为根的树是二叉搜索树，节点和 \(s= ls + rs + root.val\)。我们更新答案 \(ans = \max(ans, s)\)，并返回 \((1, \min(lmi, root.val), \max(rmx, root.val), s)\)。

否则，以 \(root\) 为根的树不是二叉搜索树，我们返回 \((0, 0, 0, 0)\)。

我们在主函数中调用 \(dfs(root)\)，执行完毕后，答案即为 \(ans\)。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 是二叉树的节点数。

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# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def maxSumBST(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        def dfs(root: Optional[TreeNode]) -> tuple:
            if root is None:
                return 1, inf, -inf, 0
            lbst, lmi, lmx, ls = dfs(root.left)
            rbst, rmi, rmx, rs = dfs(root.right)
            if lbst and rbst and lmx < root.val < rmi:
                nonlocal ans
                s = ls + rs + root.val
                ans = max(ans, s)
                return 1, min(lmi, root.val), max(rmx, root.val), s
            return 0, 0, 0, 0

        ans = 0
        dfs(root)
        return ans

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/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    private int ans;
    private final int inf = 1 << 30;

    public int maxSumBST(TreeNode root) {
        dfs(root);
        return ans;
    }

    private int[] dfs(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return new int[] {1, inf, -inf, 0};
        }
        var l = dfs(root.left);
        var r = dfs(root.right);
        int v = root.val;
        if (l[0] == 1 && r[0] == 1 && l[2] < v && r[1] > v) {
            int s = v + l[3] + r[3];
            ans = Math.max(ans, s);
            return new int[] {1, Math.min(l[1], v), Math.max(r[2], v), s};
        }
        return new int[4];
    }
}

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/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int maxSumBST(TreeNode* root) {
        int ans = 0;
        const int inf = 1 << 30;
        auto dfs = [&](this auto&& dfs, TreeNode* root) -> array<int, 4> {
            if (!root) {
                return {1, inf, -inf, 0};
            }
            auto l = dfs(root->left);
            auto r = dfs(root->right);
            int v = root->val;
            if (l[0] && r[0] && l[2] < v && v < r[1]) {
                int s = l[3] + r[3] + v;
                ans = max(ans, s);
                return {1, min(l[1], v), max(r[2], v), s};
            }
            return {0};
        };
        dfs(root);
        return ans;
    }
};

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/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */
func maxSumBST(root *TreeNode) (ans int) {
    const inf = 1 << 30
    var dfs func(root *TreeNode) [4]int
    dfs = func(root *TreeNode) [4]int {
        if root == nil {
            return [4]int{1, inf, -inf, 0}
        }
        l, r := dfs(root.Left), dfs(root.Right)
        if l[0] == 1 && r[0] == 1 && l[2] < root.Val && root.Val < r[1] {
            s := l[3] + r[3] + root.Val
            ans = max(ans, s)
            return [4]int{1, min(l[1], root.Val), max(r[2], root.Val), s}
        }
        return [4]int{}
    }
    dfs(root)
    return
}

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/**
 * Definition for a binary tree node.
 * class TreeNode {
 *     val: number
 *     left: TreeNode | null
 *     right: TreeNode | null
 *     constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
 *         this.val = (val===undefined ? 0 : val)
 *         this.left = (left===undefined ? null : left)
 *         this.right = (right===undefined ? null : right)
 *     }
 * }
 */

function maxSumBST(root: TreeNode | null): number {
    const inf = 1 << 30;
    let ans = 0;
    const dfs = (root: TreeNode | null): [boolean, number, number, number] => {
        if (!root) {
            return [true, inf, -inf, 0];
        }
        const [lbst, lmi, lmx, ls] = dfs(root.left);
        const [rbst, rmi, rmx, rs] = dfs(root.right);
        if (lbst && rbst && lmx < root.val && root.val < rmi) {
            const s = ls + rs + root.val;
            ans = Math.max(ans, s);
            return [true, Math.min(lmi, root.val), Math.max(rmx, root.val), s];
        }
        return [false, 0, 0, 0];
    };
    dfs(root);
    return ans;
}

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