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120. 三角形最小路径和

题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

 

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

 

提示：

  • 1 <= triangle.length <= 200
  • triangle[0].length == 1
  • triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
  • -104 <= triangle[i][j] <= 104

 

进阶：

  • 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

解法

方法一：动态规划

我们定义 \(f[i][j]\) 表示从三角形底部走到位置 \((i, j)\) 的最小路径和。这里的位置 \((i, j)\) 指的是三角形中第 \(i\) 行第 \(j\) 列（均从 \(0\) 开始编号）的位置。那么我们有如下的状态转移方程：

\[ f[i][j] = \min(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + \text{triangle}[i][j] \]

答案即为 \(f[0][0]\)。

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class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        f = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            for j in range(i + 1):
                f[i][j] = min(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j]
        return f[0][0]

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class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[][] f = new int[n + 1][n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                f[i][j] = Math.min(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return f[0][0];
    }
}

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class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                f[i][j] = min(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j];
            }
        }
        return f[0][0];
    }
};

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func minimumTotal(triangle [][]int) int {
    n := len(triangle)
    f := make([][]int, n+1)
    for i := range f {
        f[i] = make([]int, n+1)
    }
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        for j := 0; j <= i; j++ {
            f[i][j] = min(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
        }
    }
    return f[0][0]
}

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function minimumTotal(triangle: number[][]): number {
    const n = triangle.length;
    const f: number[][] = Array.from({ length: n + 1 }, () => Array(n + 1).fill(0));
    for (let i = n - 1; i >= 0; --i) {
        for (let j = 0; j <= i; ++j) {
            f[i][j] = Math.min(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j];
        }
    }
    return f[0][0];
}

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impl Solution {
    pub fn minimum_total(triangle: Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
        let n = triangle.len();
        let mut f = vec![vec![0; n + 1]; n + 1];
        for i in (0..n).rev() {
            for j in 0..=i {
                f[i][j] = f[i + 1][j].min(f[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j];
            }
        }
        f[0][0]
    }
}

方法二：动态规划（空间优化）

我们注意到，状态 \(f[i][j]\) 仅与状态 \(f[i + 1][j]\) 和状态 \(f[i + 1][j + 1]\) 有关，因此我们可以使用一维数组代替二维数组，将空间复杂度从 \(O(n^2)\) 降低至 \(O(n)\)。

时间复杂度 \(O(n^2)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 是三角形的行数。

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class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        f = [0] * (n + 1)
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            for j in range(i + 1):
                f[j] = min(f[j], f[j + 1]) + triangle[i][j]
        return f[0]

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class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] f = new int[n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                f[j] = Math.min(f[j], f[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return f[0];
    }
}

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class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<int> f(n + 1, 0);
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                f[j] = min(f[j], f[j + 1]) + triangle[i][j];
            }
        }
        return f[0];
    }
};

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func minimumTotal(triangle [][]int) int {
    n := len(triangle)
    f := make([]int, n+1)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        for j := 0; j <= i; j++ {
            f[j] = min(f[j], f[j+1]) + triangle[i][j]
        }
    }
    return f[0]
}

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function minimumTotal(triangle: number[][]): number {
    const n = triangle.length;
    const f: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = n - 1; i >= 0; --i) {
        for (let j = 0; j <= i; ++j) {
            f[j] = Math.min(f[j], f[j + 1]) + triangle[i][j];
        }
    }
    return f[0];
}

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impl Solution {
    pub fn minimum_total(triangle: Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
        let n = triangle.len();
        let mut f = vec![0; n + 1];
        for i in (0..n).rev() {
            for j in 0..=i {
                f[j] = f[j].min(f[j + 1]) + triangle[i][j];
            }
        }
        f[0]
    }
}

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